Exercice TS dérivation (2 questions)

Bonjour, j'ai un exercice à faire en mathématique niveau terminale S
J'ai réussi à répondre aux 3/4 des questions (19 en tout ^^) mais la dernière partie me pose problème. 

énoncé :
ABC est un triangle rectangle en A, M est un point de [BC], la perpendiculaire à (AB) passant par M coupe [AB] en E et la perpendiculaire à (AC) passant par M coupe [AC] en F (voir la  figure ci-jointe que j'ai réalisée avec Géogébra) 
Le but de cet exercice est de déterminer la position du point M sur [BC] telle que la distance EF soit minimale. 
On posera AB = b,  AC = c,  AE = e et  AF = f

I) déjà fait 
fin du II) cas général ( avec b>0 et c>0 quelconques mais fixés) :

qst 20)    On pose : 


Etudier cette fonction f sur l'intervalle I [0;b] puis en déduire (en fonction de b et de c) : 
- les coordonnées du point M telle que EF soit minimale 
- cette longueur minimale EF 

D'après moi (mes recherches) : pour étudier le sens de variation de la fonction  f, il faut étudier la fonction polynôme qui est sous la racine. 
Comme on est sur un intervalles où  u(x) >0 ,   les fonctions  u  et racine de u  ont le même sens de variation.

PS : si ça peut aider j'ai trouvé dans les questions précédentes les infos suivantes :

-  la longueur EF est égal à 

- les coordonnées de M sont : 

- l'équation de la droite (BC) est 

MERCI d'avance pour votre aide 

lien image géogébra : Lien internet