nombres rationnels!
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Message de nina96 posté le 14-11-2015 à 10:47:26 (S | E | F)
Bonjour.
Je suis étudiante en 1ère année mathématiques, et je rencontre quelques difficultés en ce qui concerne les nombres rationnels. voici mon exercice :
Notons D l'ensemble des nombres de la forme a/2^n avec
Z et n
N
1-Montrer que 3 n'appartient pas à D
2-Trouver x D tel 1234
Message de nina96 posté le 14-11-2015 à 10:47:26 (S | E | F)
Bonjour.
Je suis étudiante en 1ère année mathématiques, et je rencontre quelques difficultés en ce qui concerne les nombres rationnels. voici mon exercice :
Notons D l'ensemble des nombres de la forme a/2^n avec
1-Montrer que 3 n'appartient pas à D
2-Trouver x
Réponse: nombres rationnels! de nick94, postée le 14-11-2015 à 18:36:47 (S | E)
Bonjour,
n'y aurait-il pas une erreur dans l'énoncé ?
En effet :
a = 3 et n = 0 prouve que 3 est dans D
Réponse: nombres rationnels! de nina96, postée le 15-11-2015 à 18:14:20 (S | E)
bonsoir,
l'exercice commence comme ça en réalité:
1. Montrer que la somme de deux rationnels est un rationnel. Montrer que le produit de deux rationnels est un rationnel. Montrer que l'inverse d'un rationnel non nul est un rationnel. Qu'en est-il pour les irrationnels?
2. Ecrire les nombres suivants sous forme d'une fraction: 0.1212; 0.1212...; 78.33456456...
3. Sachant que rac2 n'appartient pas à Q, montrer que 2-3rac2 n'appartient pas à Q, 1-(1/rac2) n'appartient pas à Q
4. Notons D l'ensemble des nombres de la forme: a/2^n avec a appartient à Z et n appartient à N. Montrer que 3 n'appartient pas à D. Trouver x appartient à D tel que 1234
Réponse: nombres rationnels! de fransoise, postée le 18-11-2015 à 10:55:50 (S | E)
Bonjour,
Comme dans la plupart des exercices, le but est de répondre à une question (la dernière) et pour cela on donne les étapes du raisonnement par les questions précédentes. De plus en général, les exercices correspondent au dernier cours et s'en déduisent souvent.
1. Les questions sur Q (ensemble des rationnels) ont leurs réponses dans la définition d'un rationnel q = n / d (numérateur sur dénominateur).
Les mêmes questions sur R - Q, l'ensemble des irrationnels se démontrent en donnant des contre-exemples, sachant que 0 et 1 (élements neutres de + et de x sont naturels, donc rationnels) c'est assez facilement.
2. Les nombres qui peuvent s'écrire de façon décimale avec un nombre fini de décimales sont des rationnels; il suffit de choisir la bonne puissance de 10 au dénominateur et de simplifier.
Pour les nombres avec une partie décimale dite périodique (qui se répéte), il existe une technique pour trouver une fraction qui leur corresponde et ensuite la simplifier, vous devez l'avoir vu en cours (sinon, on en discute), dans certains cas il faut considérer le nombre comme la somme de deux décimaux, l'un avec un nombre de décimales fini, l'autre à partie décimale périodique.
3. Les réponses aux questions se déduisent facilement du 1.
4. Pour cette question, je ne vois pas le lien avec ce qui précède, de plus êtes-vous sûre qu'il n'y a pas d'autres conditions sur a et n, ainsi que le fait remarquer nick94, on a l'impression que le texte est coupé et qu'il manque la fin.
Réponse: nombres rationnels! de nina96, postée le 20-11-2015 à 10:05:02 (S | E)
bonjour, encore merci pour vos réponses.
la question 4: trouver un x appartenant à D tel que x compris entre 1234 et 1234.001
c'est l'énoncé de l'exercice et je ne vois vraiment pas le rapport avec les questions précédentes.
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Modifié par nina96 le 20-11-2015 10:05
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Modifié par nina96 le 20-11-2015 10:11
Réponse: nombres rationnels! de fransoise, postée le 20-11-2015 à 14:20:26 (S | E)
Bonjour,
Je vais rajouter 2 hypothéses : n naturel non nul et a/2n fraction irréductible (dans ce cas a est impair)
Si 3 ∈ D alors il existe a entier impair et n ≠ 0 tel que 3 = a/2n
soit 3 * 2n = a
c'est-à-dire que 2 et 3 sont des diviseurs de a, impossible si a est impair
Pour 1234, il faut donc trouver x ∈ D avec :
1234 < x < 1234,001
revenons à des entiers
soit
1 234 000 < x * 103 < 1 234 001
on fait aparaître les puissances de 2 en utilisant 10 = 2 * 5
(1 234 000)/ 53 < x * 23 < (1 234 001)/ 53
on obtient :
9 872 < x * 23 < 9 8720.008
on recherche 2 entiers consécutifs, soit par quelle puissance de 2 multipliée 0.008 pour obtenir un chiffre > 1
on trouve 128 * 0.008 = 27 * 0.008 = 1.024
on multiplie les membres de l'inégalité précedente par 27
et l'on obtient
1 263 616 < x * 210 < 1 263 617.04
Le problème était de trouver un entier de la forme x = a/2n tel que
1 234 < x < 1 234.001
je pense qu'il ne manque plus grand' chose...
À vous de terminer.
Réponse: nombres rationnels! de nina96, postée le 02-12-2015 à 17:55:25 (S | E)
merci encore!
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