Exercice

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Message de souad123 posté le 18-02-2014 à 21:12:45 (S | E | F)
Bonjour tout le monde,
Pourriez-vous m'aider dans cet exercice ? J'ai beau essayé a le résoudre, sans succès.
a,b et c sont des nombres réels positifs tel que abc=1
Montrer que: 1/(c^3+b^3+1)+1/(1+a^3+c^3)+1/a^3+b^3+1)est inferieur ou égale à 1

Réponse: Exercice de rugdy, postée le 20-02-2014 à 22:01:28 (S | E)
Bonjour,
Il faut que tu raisonnes en prenant par exemple a < b < c. Comment sont ordonnés les nombres a^3, b^3 et c^3 ? Tu pourras ainsi raisonner par inégalités.
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Modifié par bridg le 07-03-2014 16:00

Réponse: Exercice de souad123, postée le 21-02-2014 à 19:23:15 (S | E)
La méthode que tu me proposes est si longue car j'utiliserai beacoup de cas En plus je ne sais pas si elle peut résoudre ce problème difficile

Réponse: Exercice de souad123, postée le 22-02-2014 à 16:15:49 (S | E)
Malheureusement, personne ne m'a aidé je suis déçue

Réponse: Exercice de seb2501, postée le 24-02-2014 à 20:11:40 (S | E)
Bonjour souad,

comme personne ne t'a aidé, alors je m'y risque, mais ça fait bien longtemps que je ne fais plus de maths.

1/(c^3+b^3+1)+1/(1+a^3+c^3)+1/a^3+b^3+1) inf. ou égal à 1 avec abc=1 réels positifs et non nuls.

Tout d'abord c'est facile de voir que l'égalité est vérifiée pour a=b=c=1 (1/3 + 1/3 +1/3 inf. ou égal à 1)

Malheureusement on ne peut pas dire que chaque fraction inf. ou égal à 1/3, prenons par exemple a=1/2, b=2, c=1 :
On obtient 1/(1+8+1)+1/(1+1/8+1)+1/(1/8+8+1) = 1/10 + 1/2,125 + 1/9,125 = 0,1 + 0,47.. + 0,109.. donc au global inf. ou égal à 1 mais la 2nde fraction est sup. à 1/3

Ensuite abc=1 est au moins aussi important que ton inégalité.
Alors il faudrait peut être étudier ton inéquation avec a quelconque, b=a ce qui donnerait c= 1/a^2
(éventuellement poser A = a^3)
Ensuite si tu obtiens quelque chose en suivant cette voie, il faudra montrer que si b est différent de a, alors l'inégalité est encore vérifiée.

Réponse: Exercice de logon, postée le 24-02-2014 à 21:12:16 (S | E)
Bonsoir Souad, Bonsoir Seb,

j'avais la même chose a proposer. Avec en plus....si abc=1 les 3 nombres doivent vérifier (x/y)*(z/x)*(y/z) =1 d'ou on peut en simplifiant en déduire que a peut être égal a 1, et b=1/c. Seb en prenant 1, 2 et 1/2 c'est ce que vous avez confirmé.

mais comme vous, Seb j'arrive à:
1/(1+b+1/b) + 1/(1+1+b) + 1/(1 +1/b+1) les deux premiers termes sont inférieurs a 1/3 mais pas le troisième!
Et de développer tout cela ne donne rien?

Bonne soirée.

Réponse: Exercice de seb2501, postée le 26-02-2014 à 13:36:43 (S | E)
Bonjour logon,
après avoir posté je pensais que souad aurait rebondi avec l'expression du développement.
Je l'avais fait rapidement, de mémoire avec simplifications, je tombais sur une expression du genre a^9-a^6-a^3+1 sup. ou égal à 0, donc A^3-A^2-A+1 sup. ou égal à 0 ...

Réponse: Exercice de souad123, postée le 26-02-2014 à 19:20:17 (S | E)
Bonjour,
Merci pour vous
Je n'ai pas bien compris ce que vous avez fait

Réponse: Exercice de souad123, postée le 02-03-2014 à 20:16:49 (S | E)
Je suis déçue

Réponse: Exercice de seb2501, postée le 02-03-2014 à 23:12:07 (S | E)
Bonsoir souad,

l'idée est d'intégrer cette notion de abc=1 dans votre inéquation de départ afin d'espérer pouvoir simplifier l'expression en la développant.
Pour augmenter les chances de la simplifier, nous avons considéré un cas légérement particulier où a et b seraient identiques. (bien que a et c restant des valeurs quelconques)

Moi aussi je suis décu, car après avoir découragé rugdy qui voulait vous aider et malgré mes expliquations qui étaient apparemment suffisamment claires pour logon, rien n'est venu de votre part.
Aucun développement, aucune simplification, ... bref aucune véritable tentative de résolution.
Et le seul intéret pour cette tentative de résolution est venu de logon.

Si comme esquissé rapidement, votre inéquation peut s'apparenter aux autres expressions données.
Alors il suffit de se remettre dans le contexte de départ et de les étudier sur le domaine qui vous intéresse (positif non nul) afin de vérifier si l'inégalité se vérifie bien ou non.

Bref, maintenant à vous de développer, simplifier, étudier et valider ou non votre inéquation.
... ou de trouver une autre méthode qui vous conviendra, peut-être la méthode je ne comprends pas et je suis décue. ^^

Bon courage

Réponse: Exercice de souad123, postée le 03-03-2014 à 18:22:18 (S | E)
J'espère ça

Réponse: Exercice de logon, postée le 04-03-2014 à 12:32:32 (S | E)
Bonjour Souad, bonjour Seb

Voilà

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Modifié par logon le 04-03-2014 12:32

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Modifié par logon le 04-03-2014 12:34

Réponse: Exercice de souad123, postée le 04-03-2014 à 14:31:49 (S | E)
Bonsoir,
Merci Logon.
J'ai démontré que (1/(ab(a+b+c)))+(1/(ac(a+b+c)))+(1/(cb(a+b+c)))=1 donc 1/(c^3+b^3+1)+1/(1+a^3+c^3)+1/a^3+b^3+1)est inferieur ou égale à 1
Merci encore fois Logon, seb2501. et à bientôt !

Réponse: Exercice de logon, postée le 04-03-2014 à 16:18:46 (S | E)
Souad,

c'est bien. Évidemment je n'ai pas tout développé parce que l'écriture de tous ces exposants était difficile avec mon programme.

Vous avez admis que la démonstration "directe" n'est pas facile et il fallait passer par cette majoration de la somme (égale à 1) et en déduire que la somme initiale est forcémment inférieure.

Bon exercice. Ou l'avez vous trouvé?

Réponse: Exercice de souad123, postée le 04-03-2014 à 21:38:50 (S | E)
Je l'ai trouvé dans les Olympieds

Réponse: Exercice de logon, postée le 05-03-2014 à 11:20:08 (S | E)
Souad,

vous êtes mathématicienne?

Réponse: Exercice de souad123, postée le 05-03-2014 à 12:02:55 (S | E)
Pourquoi pas ?

Dans votre message Logon; vous avez dit; " si abc=1 les 3 nombres doivent vérifier (x/y)*(z/x)*(y/z) =1 d'ou on peut en simplifiant en déduire que a peut être égal a=1, et b=1/c "
Je vois que qu'on doit faire a=A et b=1/Ac tel que A est positif différent de 0 car a=1 et b=1/c ;c'est un cas on a donné à A=1 et cela ne peut pas généraliser car A=1000000 et b=1/(1000000 c). Pourquoi vouz aves dit a=1 et non a=2 ou a=3 ou a=n n est positif différent de 0.

Réponse: Exercice de logon, postée le 06-03-2014 à 21:22:04 (S | E)
Souad,

bonsoir,

je ne vois votre question que maintenant.

Si trois nombres abc=1, il faut qu'ils vérifient (x/y)*(y/z)*(z/x) =1
De toutes façons, cela n'intervient pas dans ma démonstration.

Si vous choisissez a = 2, donnez moi alors des valeurs pour b et c, valeurs numériques s'entend?

Par ailleurs, sur ce site, plutôt pédagogique, ou les "correcteurs" mettent les élèves sur la voie, ce dont en général ils nous remercient, les énigmes mathématiques sont d'un niveau inhabituel...

Bonne continuation.

Réponse: Exercice de souad123, postée le 07-03-2014 à 08:39:17 (S | E)
bonjour;
a=2 donc bc=1/2 donc b=1/(2c) et c=1/(2b) si c=1 donc b=1/2
a=2;b=1/2;c=1 =) abc=1

Réponse: Exercice de maamarmemone, postée le 13-03-2014 à 01:45:36 (S | E)
la réponse de logon est juste , bravo logon bien expliqué !!!!!!!!

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