Les suites numï¿½riques

Les suites numériques - exercice
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Les suites numériques - exercice
Message de hahahey posté le 16-04-2013 à 12:48:28 (S | E | F)
Bonjour à tous , j'ai un exercice dont j'ai fait la première partie. J'ai mis les réponses pour que vous puissiez me corriger . Cependant je suis bloqué à la deuxième partie si vous pouvez m'aider s'il vous plaît ?

Mr XXX tond sa pelouse tous les samedis, et il stocke le produit de sa tonte (120 litres) dans un bac à compost (de 300 litres vide lors de la 1ère tonte).
Chaque semaine, les matières stockées perdent par décomposition les trois quarts de leur volume.
On note (Vn) le volume stockée dans le bac à compost le nème samedi de tonte.

1ere Partie :

1) Calculez V1, V2,V3.

Je trouve:
V1= 120
V2=150
V3= 157.50

2) Expliquez pourquoi Vn+1 = 0,25Vn + 120.
Car on enleve trois quarts de volume du samedi précédent et cela revient à faire 0.25 * Vn et en plus de cela on ajoute 120 litres de la nouvelle tonte.
3) Vn est – elle arithmé6que ? géométrique ? Jus6fiez.
Vn+1= 0.25Vn +120 , c'est une suite arithmétique car nous avons un produit faisant référence a la suite arithmétique et dont la définition est : Un+1 = Un + r
4) On désire programmer la suite Vn sur un tableur.

4a) Quelle formule doit-on entrer dans la cellule B3 des6née à être recopiée vers le
bas ?
= B2/4 +120
4b) A par6r de combien de tontes la quan6té de ma6ère sera supérieure a 200litres ?
Jamais
4c) Le bac sera-t-il rempli avant l’hiver ?
Non
4d) Quelle semble être la limite de Vn lorsque n tend vers +∞.
160 litres soit lim n tend + infinis Vn= 160 .

2eme partie

On définit pour tout n ≥ 1 la suite Tn= 160 − Vn
1) Démontrez que (Tn) est une suite géométrique. On précisera sa raison et son 1er
terme.
Je suis bloqué ici car je en sais pas Vn est égale a quoi .
Je sais qu'il faut le démontrer en trouvant Un+1 = Un * q et ensuite conjecturer la raison en calculant U0 , U1 et U2 . Puis faire Un+1/Un .

2) Exprimer Tn en fonction de n.
3) Montrez que Vn = 160 - Tn. En déduire Tn en fonction de n.
4) Déterminez la lim .

Merci pour vos réponses.

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Modifié par hahahey le 17-04-2013 11:04

Réponse: Les suites numériques - exercice de milarepa, postée le 16-04-2013 à 15:35:44 (S | E)
Bonjour Hahahey,

Bravo pour ta présentation.

Partie 1

Q1 : Tes calculs sont corrects, mais tu as oublié l'unité : V₁ = 120 l, etc.

Q2 : C'est juste.

Q3 : Non, cette suite n'est pas arithmétique, puisque la différence de deux termes successifs n'est pas égale à une constante !
Une suite arithmétique est de la forme U_n+1 = U_n + r.
Une suite géométrique est de la forme U_n+1 = qU_n.
Pour savoir si une suite est géométrique on regarde si le quotient de deux termes successifs est une constante.
Est-ce une troisième entité ?

Q4a : Je ne connais pas les tableurs. Quelqu'un d'autre pourra t'aiguiller.

Q4b : C'est juste mais il faut que tu justifies/démontres/argumentes ta réponse.

Q4c : Juste mais idem.

Q4d : Il faut que tu démontres rigoureusement comment tu parviens à ce résultat.

Partie 2

Q1 : Tu reprends la définition de la suite géométrique de la Q3 de la première partie ci-dessus et tu démontres que T_n+1/T_n = une constante que tu dois préciser, et où V_n+1=(V_n/4)+120.

Q2 et Q3 : Je suppose qu'il y a une erreur dans ce que tu as recopié de ton énoncé. Peux-tu vérifier ?

Q4 : Facile quand tu auras les réponses précédentes.

Q5 : Tu ne nous as pas dit ce qui les opposait...

Bonne journée.

Réponse: Les suites numériques - exercice de tiruxa, postée le 16-04-2013 à 15:41:31 (S | E)
Bonjour,

Il faut d'abord reprendre la question 3 car la suite n'est pas arithmétique ni géométrique.

Pour le justifier il suffit de se servir des premiers termes, on voit que V1 = V0 + 30 et V2 = V1 + 7,5 donc il n'existe pas de nombre r tel que Vn+1 = Vn +r pour tout entier naturel n.

Justifier de même qu'elle n'est pas géométrique.

Bon courage

Réponse: Les suites numériques - exercice de hahahey, postée le 17-04-2013 à 11:05:40 (S | E)
Bonjour , merci pour vos réponses milarepa et tiruxa .

Partie 1

Question 1 : C'est fait.

Question 2 : C'est fait.

Question 3 : J'ai compris que ce n'est ni une suite arithmétique ni une suite géométrique. Pour justifier la suite arithmétique j'ai vu la réponse de tiruxa mais est ce que c'était un exemple de nombre et je dois les remplacer par les vrais nombre ou c'est bien les vrai nombres ? (car je me demande pourquoi 30 et 7.5 ) Pour justifier la suite géométrique je sais comment il faut faire mais par contre quand on a Vn = ... et ici nous avons Vn+1= 0.25vn+120 . Comment faire pour passer de Vn+1 passer à Vn ?

Question 4 : C'est fait

Partie 2

Question 1 :Si j'ai bien compris il faut démontrer Tn n'est pas géométrique mais une constante .En faisant Tn+1/Tn et donc Vn+1=(Vn/4)+120.

Question 2 et 3 : En effet , il y a une erreur je remet les questions :
2) Exprimer Tn en fonction de n.
3) Montrez que Vn = 160 - Tn. En déduire Tn en fonction de n.

Merci de votre aide cordialement

Réponse: Les suites numériques - exercice de milarepa, postée le 17-04-2013 à 11:32:34 (S | E)
Bonjour Hahahey,

Il faut que tu bosses ton cour, Hahahey, parce qu'il me semble que les définitions de base des suites ne sont pas assimilées.
En voici deux exemples (on verra le reste plus tard) :

Partie 1
Q 3 : J'ai été très précis dans ma réponse précédente.
Est-ce que V_n est une suite arithmétique ? Non, puisqu'elle ne satisfait pas à la définition que j'ai pris la peine de reproduire.
La démonstration est la même pour montrer que ça n'est pas une suite géométrique : elle ne satisfait pas à la définition... que j'ai également pris la peine de reproduire !!!
Est-ce que c'est clair jusque là, Hahahey ???
Maintenant, une petite recherche Google pourrait te permettre de trouver comment on l'appelle, puisqu'elle ressemble un peu à (mais n'est pas) une suite arithmétique et une suite géométrique ! Mais peut-être ton professeur ne te demande pas ce troisième nom.

Partie 2
Q1 : Cette question est également basée sur la définition d'une suite !
Voir mes commentaires précédents.
Sais-tu comment on calcule T_n+1/T_n ?
Tout simplement en prenant la définition qu'on te donne !
Donc, écris T_n+1.
Puis écris T_n.
Ensuite écris le rapport des deux et simplifie la fraction. Que trouves-tu ?
Tu te demandes ce qu'est V_n ? Mais c'est juste la fonction sur laquelle tu as travaillé dans la partie 1 et dont on te donne la définition explicitement !!! Dans la Q2...

Conclusion : apprends bien les deux définitions que je t'ai données.
Allez, courage.

Réponse: Les suites numériques - exercice de hahahey, postée le 17-04-2013 à 20:16:34 (S | E)
Bonjour milarepa , heureux d'avoir une aide

pour la question 3 de la partie une j'ai compris et je vais apprendre ses définition qui me permettront de prouver qu'une suite n'est ni arithmétique ni géométrique . Pour le troisieme nom nous ne l'avons pas vu. C'est peu être une constante ?

Pour la 1ere question de la partie 2 :

J'ai compris comment calculer le rapport. Mais je n'arrive toujours pas à trouver Vn . Je sais que Vn+1 =0,25Vn + 120 donc Vn serait égale à 0.25V0 +120 ?

cordialement

Réponse: Les suites numériques - exercice de tiruxa, postée le 17-04-2013 à 20:26:29 (S | E)
Je te laisse ci dessous un lien où l'on justifie (sur la deuxième page) qu'une suite n'est ni arithmétique ni géométrique.

Il suffit donc d'adapter la démonstration
Lien internet

Ce type d'exercice est un grand classique des épreuves de spé du bac ES, il faut bien avoir compris la deuxième partie car tu retrouveras cela souvent si tu es dans cette série.

En résumé tu sais que :
Vn+1 = 0,25Vn + 120
et que Tn= 160 − Vn et donc que Tn+1 = 160 − Vn+1

A partir de ces données il faut obtenir une égalité reliant Tn+1 et Tn, ce n'est pas si compliqué, pense à la substitution.

Réponse: Les suites numériques - exercice de milarepa, postée le 18-04-2013 à 11:47:34 (S | E)
Bonjour Hahahey,

Voilà une habileté que tu peux acquérir facilement :
Quand, dans une suite tu te balades entre les n, n+1 et n-1, il suffit que tu augmentes ou diminues le second membre d'une unité dans l'expression de n, quand tu augmentes ou diminues le premier membre d'une unité dans l'expression de n.
En clair, par exemple, si tu as V_n+1=(V_n/4)+120 (n+1 est relié à n),
eh bien ça te donnera, selon ce que tu veux faire : V_n=(V_n-1/4)+120 (n est relié à n-1).
Et on aurait aussi : V_n-1=(V_n-2/4)+120, ou encore V_n+2=(V_n+1/4)+120, etc.

Donc, je me répète : tu reprends juste les définitions de T_n et de V_n qu'on te donne, puis tu exprimes juste T_n+1 et T_n, tu fais juste le rapport des deux et tu simplifies au maximum la fraction obtenue !!! Que trouves-tu alors ?

Just do it, et à plus.

Réponse: Les suites numériques - exercice de hahahey, postée le 19-04-2013 à 12:29:52 (S | E)
Bonjour , merci pour votre aide.

Tiruxa ton aide me permettra de rédiger encore mieux la question 3 je mettrais peut-être mes calculs si je vois qu'il y a une erreur.
Milarepa j'ai bien compris avec tes très bonne explication donc voici la réponse à la question 1 de la partie 2 :
Tn = 160-Vn donc Vn+1=0.25Vn +120
Vn = 0.25Vn-1 +120
Tn+1 = 160-Vn+1

Le rapport : Tn+1/Tn = 160-Vn+1/160-Vn = 160-0.25Vn+120 / 160-0.25Vn-1 +120 = 160-0.25 Vn / 160-0.25Vn-1

Est ce cela ? (j'ai un doute pour la simplification au maximum )

cordialement

Réponse: Les suites numériques - exercice de milarepa, postée le 19-04-2013 à 15:04:36 (S | E)
Salut Hahahey,

Tu vas rire tellement c'est simple... Hahaha !
On a :
T_n=160-V_n
T_n+1=160-V_n+1

ainsi que V_n+1=(V_n/4)+120

Donc T_n+1=160-(V_n/4)-120

À toi de calculer le rapport et à simplifier la fraction obtenue.

À plus.

Réponse: Les suites numériques - exercice de hahahey, postée le 19-04-2013 à 17:37:58 (S | E)
Tn+1/Tn
= (160-(Vn/4)-120) / (160-Vn)
= (40 - (Vn/4))/(160-Vn)

est ce cela ?

Réponse: Les suites numériques - exercice de milarepa, postée le 19-04-2013 à 19:27:42 (S | E)
C'est bien, tu as avancé ! Mais on n'y es pas encore.
En l'occurrence, "simplifier" une fraction signifie réduire le numérateur de ta fraction au même dénominateur.
Et ensuite modifier la fraction obtenue, sachant que (a/b)/(c/d)=(a/b)*(d/c).
À toi de jouer.

Réponse: Les suites numériques - exercice de hahahey, postée le 20-04-2013 à 20:20:28 (S | E)
(40 - (Vn/4))/(160-Vn) = 40/160- Vn/4/-Vn = 40/160 - Vn/4 * 1/Vn = 1/4 - Vn/4Vn

je trouve cela c'est ça ?

Réponse: Les suites numériques - exercice de milarepa, postée le 20-04-2013 à 22:15:03 (S | E)
Hey, Hahahey,

Est-ce que tu parles sérieusement ???
Tu as bien posé la première fraction : bravo !!!
Ensuite, c'est faux !!!
Relis mon message précédent : il y a un ordre dans les opérations à effectuer.

En quelle classe es-tu et dans quelle série ?

Réponse: Les suites numériques - exercice de hahahey, postée le 20-04-2013 à 22:19:40 (S | E)
Je suis en 1ere S pour certains calculs j'ai plus ou moins du mal. En fait avec des x j'arrive mais la avec Vn c'est plus compliqué.

(40 - (Vn/4))/(160-Vn)= 40/160- Vn/4/-Vn jusque la j'ai bon ?

Réponse: Les suites numériques - exercice de milarepa, postée le 21-04-2013 à 00:49:18 (S | E)
Ok ! Alors tu sais quoi ? Si tu remplaçais les V_n par x ?
Je te le dis : c'est trop facile !
PS : Ce que tu as écrit est encore faux, ou plutôt, on ne comprend pas la fin de ton calcul.

Réponse: Les suites numériques - exercice de hahahey, postée le 21-04-2013 à 12:07:34 (S | E)
Bonjour , Je retente encore une fois si c'est pas cela faudra m'expliquer car sinon je ne trouverais pas car j'ai tout testé. Mais ici j'ai remplacé avec x sur une feuille donc voici le calcul :

(40 - (Vn/4))/(160-Vn)= (40 - Vn/4 )* (1/160-Vn) = 40-Vn /600-Vn

cordialement

Réponse: Les suites numériques - exercice de milarepa, postée le 21-04-2013 à 13:47:06 (S | E)
Hahahey... Qu'est-ce que tu nous fais là ???
Voici la fraction à simplifier : $\frac{40-\frac{x}{4}}{160-x}$ , où x remplace $V_{n}$
Le numérateur est donc : $40-\frac{x}{4}$
Est-ce que tu peux réduire ce numérateur au même dénominateur ?
Après on verra !

Réponse: Les suites numériques - exercice de hahahey, postée le 21-04-2013 à 14:12:16 (S | E)
J'ai compris je pense:

(160/4 )- (x/4 )/ (160- x )= ((160-x)/4)/(160-x) = (160-x/4 )* (1/160-x)= 160-x/ 640-x

cordialement

Réponse: Les suites numériques - exercice de milarepa, postée le 21-04-2013 à 14:18:28 (S | E)
Tu as encore avancé, mais la fin est fausse.
À partir de la deuxième expression de ta ligne de calcul ci-dessus, il faut que tu appliques $\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}=\frac{a}{b}\frac{d}{c}$

Réponse: Les suites numériques - exercice de hahahey, postée le 21-04-2013 à 18:02:59 (S | E)
Ah bon ? Pourtant il me semblait appliquer cela .

(160/4 )- (x/4 )/ (160- x )
= ((160-x)/4)/(160-x) (A= 160-x ; B= 4 ; C = 160-x ; D= 1 ) donc (160-x/4 )* (1/160-x)= 160-x/ 640-x

Je vois pas autrement ..

Réponse: Les suites numériques - exercice de milarepa, postée le 21-04-2013 à 18:27:07 (S | E)
C'est génial : tu me fais travailler ma patience. Merci.

Et si tu écrivais "proprement" tes fractions (sur ton brouillon papier) ???
$\frac{\frac{160-x}{4}}{\frac{160-x}{1}}=(\frac{160-x}{4})(\frac{1}{160-x})$
Qu'en penses-tu ? Est-ce que tu sais multiplier 2 fractions... en 1ère S ?

Réponse: Les suites numériques - exercice de hahahey, postée le 21-04-2013 à 19:09:02 (S | E)
Désolé si j'ai du mal.

J'ai écrit sur un papier au brouillon je le fais a chaque fois.
Mais ce que tu as marqué c'est ce que j'ai trouvé est ce bon ?

"Est-ce que tu sais multiplier 2 fractions... en 1ère S ?"
[Oui il suffit de multiplier le haut et le bas normalement.

donc résultat : Je crois que j'avais oublié de muliplier le x donc :

160-x/ 640-4x

Est ce cela?

Réponse: Les suites numériques - exercice de milarepa, postée le 21-04-2013 à 19:38:33 (S | E)
Donc,si je comprends bien, toi, quand tu as $(\frac{8}{5})(\frac{1}{8})$ , tu dis simplement que ça fait $\frac{8}{40}$ ???

Réponse: Les suites numériques - exercice de hahahey, postée le 21-04-2013 à 19:55:12 (S | E)
Oui c'est bien cela.

Réponse: Les suites numériques - exercice de milarepa, postée le 21-04-2013 à 20:09:30 (S | E)
As-tu entendu parler de la simplification d'une fraction ???
Là, tu pourras réapprendre ce que c'est : Lien internet

Réponse: Les suites numériques - exercice de hahahey, postée le 21-04-2013 à 20:24:27 (S | E)
Ah oui d'accord 8/40 cela fait 1/5 .

donc 160-x/ 640-4x devient 1-x/4-4x

Je garderais ce conseille on tete : " toujours regarder si c'est simplifiable " .

Merci

Réponse: Les suites numériques - exercice de milarepa, postée le 21-04-2013 à 20:30:31 (S | E)
Pour la fraction 8/40, oui , c'est égal 1/5.
Mais pour l'autre, tu n'y es pas du tout.

Réponse: Les suites numériques - exercice de hahahey, postée le 21-04-2013 à 20:37:58 (S | E)
Pourtant (160-x)/ (640-4x )= (1-x)/(4-4x) ? Faut'il encore simplifier ?

Réponse: Les suites numériques - exercice de milarepa, postée le 21-04-2013 à 20:48:31 (S | E)
(160-x)/ (640-4x) N'EST PAS ÉGAL À (1-x)/(4-4x) !!!
Je suis désolé Hahahey, mais sur ce site on ne donne pas la solution.
Et je ne peux passer mon temps à corriger ce que tu écris, on dirait... au hasard. Presque 5 jours pour une fraction aussi simple, c'est... une première !
Bonne soirée, bonne semaine et bonne chance.

Réponse: Les suites numériques - exercice de hahahey, postée le 21-04-2013 à 21:01:28 (S | E)
Je suis désolé de ne pas être excellent mais je veux progresser.
Cependant la je suis sur que (160-x)/ (640-4x) EST ÉGAL À (1-x)/(4-4x). Je vérifie toujours les calculs. (Mais quand j'ai faux après j'arrive pas à me corriger. )
Ce que je veux ce n'est pas la solution c'est réussir les exercices pour progresser.

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Modifié par hahahey le 21-04-2013 21:01

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