Arithmétique et somme deux deux nombres

Arithmétique et somme deux deux nombres
Message de darkanga posté le 05-11-2012 à 14:29:50 (S | E | F)
Bonjour(s)
Pouvais Pouvez-vous m'aider, s'il vous plait ? J'ai un exercice (ou) dans lequel on me demande :
calculer la somme des entiers impairs de 1 à 2007 ?
Bien sûr j'ai compris qu'il fallait introduire une suite arithmétique et utiliser la formule qui donne la somme des nombres premiers termes mais je ne sais pas trop comment faire
d'avance
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Modifié par bridg le 05-11-2012 16:52

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Réponse: Arithmétique et somme deux deux nombres de toufik1985, postée le 05-11-2012 à 15:15:55 (S | E)
Bonjour!
Je vous donne seulement des étapes à suivre pour vous pouvez répondre à cet exercice
Une suite (Un),n ∈ IN est dite arithmétique lorsqu'il existe un nombre réel r (appelé raison) tel que, pour tout n de IN, on ait:
Un+1=Un+r,(le 0 c'est un nombre paire), alors U0=1, r=2:
- la formule générale :Un=U0+nr (vous pouvez la démontrer facilement par la démonstration par recurrence)
- Somme des n premiers nombres naturels impairs: S=1+3+5 ...+(2n-1)=? je vous laisse trouver la formule (essaie d'écrire les premiers termes)
bon courage!

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Réponse: Arithmétique et somme deux deux nombres de logon, postée le 05-11-2012 à 17:10:36 (S | E)
Bonjour Darkanga,

Toufik vous a donné la solution. Celle qui est la meilleure parce qu'elle marche à tous les coups.


Mais il y a aussi un truc auquel on peut penser quand ce sont des nombres qui se suivent , c'est d'écrire deux lignes avec tous ces nombres, une fois dans l'ordre ascendant, et au dessous dans l'ordres descendant.

1 3 5 7
7 5 3 1

et on ajoute les deux lignes. Mais ce n'est pas une méthode très mathématique, c'est une astuce.

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Réponse: Arithmétique et somme deux deux nombres de wab51, postée le 06-11-2012 à 12:30:27 (S | E)
Bonjour darkanga :Votre idée de marche à suivre est parfaitement juste et vous l'aviez bien comprise .En effet et pour le 1er point de départ ,il ne suffit pas de le dire mais
1)de démontrer que la suite des nombres donnés définie bien une suite arithmétique (Un)?
dont il faut déterminer son 1er terme Uo=...? ,sa raison r=...? et son terme général Un =...(en fonction de n)?
2)Étant donné que le nombre de termes de cette suite (Un) est bien limité ,c'est donc une suite finie .
a)Déterminer le nombre de termes de cette suite ?
b)Quel est son dernier terme ? Préciser son indice (sa numérotation U... ,tout en sachant que son 1er terme s'écrit Uo=1 ?
3)Enfin ,et "en appliquant la formule de calcul de la somme des termes successifs d'une suite arithmétique " :
Calculer la somme S des entiers impairs de 1 à 2007 de cette suite arithmétique (Un)?
Bonne suite et bon courage .

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Réponse: Arithmétique et somme deux deux nombres de wab51, postée le 08-11-2012 à 16:05:51 (S | E)
Bonjour :A mon avis ,le procédé qu'a présenté Mr Logon est plus ingénieux qu'astucieux et il se présente comme "une méthode mathématique de travail". En effet ,partons du cas général en cherchant à trouver la somme des n premiers nombres impairs ?
Désignons par n le nombre "des premiers nombres entiers impairs" .
On pourra facilement démontrer par récurrence que le nième nombre et pour tout n entier naturel non nul s'écrira :2.n - 1 .
exemple :le 1er nombre impair est 1=2x1-1 ;le 2ième nombre impair est 3=2x2-1 ; le 3ième nombre impair est 5=2x3-1 ;...;...;et le nième nombre impair est 2xn-1
*Démonstration :Calcul de la somme S des n premiers nombres entiers impairs ?
*Écrivons dans cette 1ière ligne S (sous forme croissante ): 1 + 3 + 5 + ... + ... + (2n-5) + (2n-3) + (2n-1) . (1)
*Écrivons dans cette 2ième ligne S (sous forme décroissante)2n-1)+(2n-3)+(2n-5)+ ... + ... + 1 + 3 + 5 . (2)
*Additionnons la 1ière et la 2ième ligne ,on obtient facilement : 2.S = 2n x n ou encore S = n² (n est le nombre de nombres premiers impairs ).
*Voilà ,il s'agit bien d'une formule S = n² et qu'il suffit simplement d'appliquer directement cette formule pour le cas particulier de l'exercice où il suffit de déterminer le nombre "n" ,nombre des premiers nombres entiers premiers impairs de 1 à 2007 ?
Bonne continuation et bonne journée

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Réponse: Arithmétique et somme deux deux nombres de darkanga, postée le 22-11-2012 à 19:56:43 (S | E)
a vous tous.j'ai trouvé . grâce a vous c'est un pas de plus dans les maths

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