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Formule de Héron -

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Formule de Héron -
Message de titou22 posté le 08-04-2010 à 21:15:57 (S | E | F)

Bonsoir à tous, et merci à vous.

ABC est un triangle. a, b, c désignent respectivement les longueurs [BC], [AC] et [AB]. On note p=a+b+c/2 son demi-périmètre et S son aire.

1)Exprimer S en fonction de b, c et BAC.
2)Exprimer 4b²c²sin²BAC en fonction de a, b et c.
3) En déduire une expression de S² en fonction de a, b et c.
4) Démontrer que S=racine(p(p-a)(p-b)(p-c))

Voilà cet exercice est facultatif, notre professeur nous a dit qu'il fallait pas le faire mais je voudrais m'en intéressé quand même pour l'année prochaine.
Si vous pouviez m'en dire plus ça serait aimable de votre part.

Titou


Réponse: Formule de Héron - de mini-sioux, postée le 10-04-2010 à 07:48:13 (S | E)
BONJOUR
Je trouve aussi intéressant cet exercice!!!!
mon niveau en math n'est pas le même que le tiens (vu que je suis en 3ème) mais je pensais à quelque chose (qui n'est pas forcément juste!!).

L'aire d'un triangle se calcul grâce à la formule suivant:
Côté*Côté se tout /2

et on te demande de l'exprimer avec b, c et BAC (est ce un angle?)
S=(BA*AC)/2
voilà ça m'intéresse de savoir comment il faut faire si jamais tu as le corrigé pourras tu me le montrer merci


Réponse: Formule de Héron - de taconnet, postée le 10-04-2010 à 14:47:00 (S | E)
Bonjour.

On considère la triangle ABC.

On trace la hauteur issue de C et relative au côté [AB].(H est la projection orthogonale de C sur [AB]
Appelons CH la mesure de cette hauteur.

L'aire du triangle est donc:

Aire = (BH x AB)/2

Cependant dans le triangle rectangle CHA (H = 90°) on a :
CH = AC sin A ([AC] est l'hypoténuse)
donc on peut exprimer l'aire d'une autre façon :

Aire = [(ABxAC)/2]sinA.

Avec la formule d'AL KASHI on obtient :

a² = b² + c² - 2bc cos A

Soit cosA = (b² + c² -a²)/2bc

Calculez alors
1 - cos A = 2sin² (A/2)
et
1 + cos A = 2cos²(A/2)

Après simplification on obtient :





Réponse: Formule de Héron - de titou22, postée le 10-04-2010 à 17:59:09 (S | E)
Bonjour, merci beaucoup.

Pourriez vous détaillez cela :

1 - cos A = 2sin² (A/2)
et
1 + cos A = 2cos²(A/2)

pour obtenir :

SinA/2=...

CosA/2=...


Réponse: Formule de Héron - de taconnet, postée le 10-04-2010 à 18:20:42 (S | E)
Bonjour.

C'est pourtant simple !

Un excellent exercice sur les identités remarquables.

1 - cos A = 1 - (b² + c² - a²)/2bc = (2bc - b² - c² + a²)/2bc = (a² -(b² -2bc +c²)/2bc = [a² - (b - c)²]/2bc = (a - b + c)(a + b -c)/2bc
or
a-b+c = 2(p-b)
a+b-c = 2(p-c)

Donc
1 -cosA = 2(p-b)(p-c)/bc
Soit
2sin²(A/2) = 2(p-b)(p-c)/bc <══> sin²(A/2) = (p-b)(p-c)/bc

Et finalement



Faites maintenant les mêmes calculs pour déterminer la valeur de
1 + cosA = ...


Réponse: Formule de Héron - de titou22, postée le 10-04-2010 à 18:44:15 (S | E)
D'accord, juste une précision, pourquoi le 2 a disparu ?

Donc
1 -cosA = 2(p-b)(p-c)/2bc


Réponse: Formule de Héron - de taconnet, postée le 10-04-2010 à 19:17:08 (S | E)
Est-ce que vous avez refait tout seul les calculs que j'ai proposés.

au numérateur vous avez 2(p-b) X 2(p-c) = 4(p-b)(p-c)

donc





Réponse: Formule de Héron - de titou22, postée le 10-04-2010 à 19:18:04 (S | E)
Pour 1+ cosA je trouve :

1+ cos A = (-a+b+c)(-a+b-c)/2bc
donc
-a+b+c= 2(p-a)?
-a+b-c= 2(p+b)?


Réponse: Formule de Héron - de taconnet, postée le 10-04-2010 à 19:23:41 (S | E)
C'est faux !

Reprenez vos calculs avec soin.
le numérateur s'écrit : b² +c² -a² + 2bc . Factorisez cette expression


Réponse: Formule de Héron - de titou22, postée le 10-04-2010 à 19:27:37 (S | E)
Eh bien oui j'ai bien fait ça pourtant :

1+ cosA=2bc+b²+c²-a²/2bc
=-a²+(b²+2bc+c²)/2bc
=-a²+(b+c)²/2bc
=(-a+b+c)(-a+b-c)/2bc


Réponse: Formule de Héron - de taconnet, postée le 10-04-2010 à 19:34:08 (S | E)
C'est encore faux !

L'identité remarquable que vous devez utiliser est de la forme :

A² - B² = (A + B)(A - B)

donc vous devez factoriser :

(b+c)² - a² à l'ordre !


Réponse: Formule de Héron - de titou22, postée le 10-04-2010 à 19:49:26 (S | E)
Ah oui effectivement ça change la donne.

Donc ça fait maintenant :
=(b+c)²-a²
=(b+c+a)(b+c-a)

mais alors ça donne :
b+c+a=2p
b+c-a=2(p-a)
?


Réponse: Formule de Héron - de taconnet, postée le 10-04-2010 à 19:56:00 (S | E)
Enfin !

Le résultat est exact.
Il suffit de reporter ces deux valeurs dans la formule de l'aire, et vous obtiendrez le résultat attendu.







Réponse: Formule de Héron - de titou22, postée le 10-04-2010 à 20:03:25 (S | E)
Exercice abouti.

Merci encore une fois Taconnet



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