Rï¿½currence et suite

Récurrence et suite

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Récurrence et suite
Message de himai posté le 10-03-2010 à 16:26:06 (S | E | F)
bonjour,

j'aimerais prouver par récurrence que la suite définie par V0=3 et par vn+1=rac(Vn) est décroissante. et je ne vois vraiment pas comment partir
merci d'avance!

Réponse: Récurrence et suite de iza51, postée le 10-03-2010 à 16:32:38 (S | E)
bonjour
faire une démonstration par récurrence, c'est d'abord étudier ce qui se passe pour les premiers termes ...
calculer v₁, v₂, v₃, puis ordonner les

Réponse: Récurrence et suite de himai, postée le 10-03-2010 à 20:28:52 (S | E)
merci
seulement j'ai déjà calculé les premiers termes
en réalité je suis bloquée sur l'hérédité de ma récurrence

Réponse: Récurrence et suite de plumemeteore, postée le 11-03-2010 à 08:52:10 (S | E)
Bonjour Himai.
Si : rac(x) <0 , il s'agit de démontrer que rac(rac(x)) < rac(x)
x-rac(x) > 0
(rac(x))² - (rac(rac(x)))² > 0
[rac(x)+rac(rac(x))] * [rac(x)-rac(rac(x))] > 0 formule a²-b² = (a+b)(a-b)

en divisant par rac(x)+rac(rac(x)) qui est positif :
[rac(x)-rac(rac(x))] > 0
donc : rac(rac(x)) < rac(x)

Réponse: Récurrence et suite de taconnet, postée le 11-03-2010 à 10:48:47 (S | E)
Bonjour.

La méthode que je propose est une méthode générale pour étudier la croissance ou la décroissance d'une suite récurrente.

On donne :

$V_{0} = 3\\ et\\ V_{n+1} = \sqrt{V_{n}}$

On calcule la différence :

$V_{n+1} - V_{n}\\ on \; a\\ V_{n+1} - V_{n} = \sqrt{V_{n}} - \sqrt{V{n-1}}$

En multipliant par l'expression conjuguée on obtient :

$V_{n+1} - V_{n} = \sqrt{V_{n}} - \sqrt{V{n-1}} = \frac {V_{n} -V_{n-1}}{\sqrt{V_{n}} + \sqrt{V_{n-1}}$

Ainsi on remarque que quel que soit n la différence

$V_{n+1} - V_{n}$ garde un signe constant.

Ce signe est celui de :
$V_{1} - V_{0}\\ or \\ V_{1} = \sqrt{3}\\ donc\\V_{n+1} - V_{n} < 0$

V_n est donc décroissante.

Réponse: Récurrence et suite de iza51, postée le 11-03-2010 à 13:23:13 (S | E)
bonjour
Avec l'exemple proposé, on peut remarquer après avoir calculé les premiers termes que: $0 < v_1=\sqrt 3 < 3=v_0$
alors on peut prouver simplement l'hérédité en utilisant le sens de variations de la fonction racine carrée
La fonction racine carrée est croissante sur R+
donc: POur un entier n quelconque, $si \quad 0 < v_{n+1} < v_{n}, \quad alors \quad \sqrt {v_{n+1}} < \sqrt{v_n}$ ,
donc: $Si \quad 0 < v_{n+1} < v_{n}, \quad alors \quad v_{n+2} < {v_{n+1}}$
L'hérédité est ainsi démontré
On peut conclure: la suite est décroissante

Cette méthode est souvent attendue aujourd'hui
Dans les sujets de bac, on demande souvent de prouver une propriété d'une suite définie par récurrence en utilisant un raisonnement par récurrence

- soit la fonction qui est utilisée pour définir par la suite, est une fonction usuelle et on doit connaitre ses variations et des propriétés
- soit la fonction n'est pas une fonction usuelle et on demande d'abord d'étudier cette fonction et quelques-unes de ces propriétés
Dans les deux cas, utiliser l'étude des variations donne facilement le résultat attendu

Réponse: Récurrence et suite de plumemeteore, postée le 11-03-2010 à 19:16:54 (S | E)
Bonjour Iza.
Ce que je reproche à votre assertion : a < b -> rac(a) < rac(b) est que ce n'est pas du tout cuit et que cela demande à être démontré.
a-b < 0
(rac(a))²-(rac(b))² < 0
[rac(a)+rac(b)]*rac(a)-(rac(b)] < 0
or (rac(a)+(rac(b) est positif
donc rac(a)-rac(b) < 0

Réponse: Récurrence et suite de iza51, postée le 12-03-2010 à 13:33:16 (S | E)
bonjour plumemeteore
J'ai affirmé:
La fonction racine carrée est croissante sur R+
donc: Pour un entier n quelconque, $si \quad 0 < v_{n+1} < v_{n}, \quad alors \quad \sqrt {v_{n+1}} < \sqrt{v_n}$

Les variations des fonctions usuelles doivent être connues et la fonction racine carrée est une fonction usuelle connue dès la seconde.
Théorème: (démontré en seconde en étudiant le signe de $\sqrt {a} - \sqrt{b}$ lorsque a < b pour tous a et b positifs et démontré en première à partir du signe de la dérivée)
la fonction racine carrée est croissante sur [0; +∞[
En seconde encore, on donne la définition d'une fonction croissante sur un intervalle I
Définition: f est croissante sur I, lorsque:
pour tous a et b de I, si a < b, alors f(a) < f(b)

et on insiste en seconde sur cette définition, et on insiste encore en première, et en terminale quand on veut utiliser le théorème donnant les variations d'une fonction composée: par exemple, on demande de déduire les variations de √f (ou bien de 1/f ou bien de ln(f) ou ...) à partir des variations de f
Il n'y a donc aucune raison de ne pas utiliser la définition d'une fonction croissante pour montrer l'hérédité; d'autant plus que souvent dans les sujets de bac de S d'aujourd'hui, on définit une suite récurrente et la première question posée est "étudier f" où f est la fonction telle que u_(n+1)=f(u_n)
et ensuite montrer en utilisant un raisonnement par récurrence que ...: il est clairement attendu l'utilisation de la définition de f croissante ou f décroissante sur ... ou bien l'utilisation des propriétés démontrées avant

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