Cours d'allemand gratuits Créer un test
Connectez-vous !

Cliquez ici pour vous connecter
Nouveau compte
Des millions de comptes créés

100% gratuit !
[Avantages]


- Accueil
- Accès rapides
- Imprimer
- Livre d'or
- Plan du site
- Recommander
- Signaler un bug
- Faire un lien


Recommandés :
- Jeux gratuits
- Nos autres sites



Dérivation-Fonction

<< Forum maths || En bas

[POSTER UNE NOUVELLE REPONSE] [Suivre ce sujet]


Dérivation-Fonction
Message de mathjulie posté le 22-02-2010 à 14:48:57 (S | E | F)

Bonjour, j'ai un exercice que je ne parviens pas à résoudre, pourriz vous m'aider, voici l'énoncé:

ABCD est un rectangle tel que AB=2 et AD=4
soit L un point qui se déplace sur le segment CD on pose DL = k
On appelle I le point d'intersection des droites AL et DB, et on note S(k) la somme des aires des triangles ABI et DIL. L'objectif est de détermier pour quelles valeurs de k cette aire est minimale.
Pour cela on considère le repère (A; i ; j ) du plan telque le vecteur AD = 4i
le vecteur AB = 2j

1) Faire une figure , donc je n'ai pas de difficultées

2) a. Déterminer les coordonnées des points A, B , L, D dans le repère.
J'obtiens mais je ne sais pas comment justifier:
A(0;0) / D(4;0) / B(0;2) / C(4;2) / L(4;k)

b. Déterminer les équations réduites des droites AL et DB dans le repère.
J'obtiens, mais je ne sais pas non plus comment le justifer:
(AM): (k/4)x - y = 0
(DB): (1/2)x + 2 = 0

c.En déduire les coordonnées de I dans le repère.
Ma réponse: les coordonnées des points d'intersections vérifient l'équation:

(1/2)x + 2 - y = 0 -------------> (1/2)x + 2 -(k/4)x = 0
(k/4)x - y = 0 -------------> y= (k/4)x



((2-k)x)/2 = -1 -------------> x = -2 /(2-k)
y= (k/4)x -------------> y = -k/(4-2k)

Donc I( -2 /(2-k) ; -k/(4-2k) )

3) a. Déterminer l'expression des aires des triangles ABI et DIL en fonction de k, puis l'expression des S(k), pour k=0 , pour k=2, puis pour k appartenant à ]0;1[ .

b. Montrer que la fonction S admet un minimum sur l'intervalle ]0;2[.

4) Conclure

Merci d'avance



Réponse: Dérivation-Fonction de taconnet, postée le 22-02-2010 à 23:32:44 (S | E)
Bonjour.

(AM): (k/4)x - y = 0 ; il s'agit de la droite (AL)
(DB): (1/2)x + 2 = 0 ; y = (-1/2)x + 2

les coordonnées de I



Vous devez pouvoir faire la suite.






Réponse: Dérivation-Fonction de mathjulie, postée le 23-02-2010 à 08:41:32 (S | E)
D'accor, merci beaucoup j'ai refais les calcules et je comprends mes erreurs, de plus, les équations de droites sont:

(AL): (k/4)-y =0
(DB): (-1/2) x +2 -y =0

Je vais continuer de réfléchir sur la suite


Réponse: Dérivation-Fonction de mathjulie, postée le 23-02-2010 à 14:50:35 (S | E)
Donc j'ai réussis à faire le 3)a.:

Je détermine l'expression des aires de ABI et DIM en fonction de m:

ABI = AB * AI' / 2 = 2 * (8/2+m) / 2 = 8 / 2+m l'unité est bien le cm carré

DIM = Dm * DI' / 2 = m * (4- 8/2+m) / 2 = 4m carré / 4+2m

Ensuite celle de S(m) :

S(m) = 8/2+m + 4mcarré/4+2m = 8+2mcarré / 2+m

J'en déduis S(0)et S(2) :

S(0)= 4
S(2)= 4

J'exprime maintenant S pour m appartenant à ]0;1[ :

pour cela j'ai fais un tableau de variation et j'ai calculé la dérivée:

S'(m) = 2mcarré +8m -8 / (2+m) carré

(2+m) carré est toujours supérieur ou égal à 0 , -2 est la valeur interdite
je recherche donc les racine de 2mcarré +8m -8 en calculant delta = 128

x1 = -8 - racine de 128 / 4
x2 = -8 + racine de 128 / 4

je fais mon tableau et j'obtiens S:
- croissante sur ]-infini ; x1 [
- décroissant sur ]x1 ; -2[ et sur ]-2 ; x2[
- croissante sur ]x2; +infini[


Mais je ne sais pascomment faire pour préciser sur l'intervalle ]0;1[ ?
De même pour la 3)b démontrer que la fonction S admet un minimum sur l'intervalle ]0;2[.

Merci d'avance











Réponse: Dérivation-Fonction de taconnet, postée le 23-02-2010 à 18:14:56 (S | E)
Bonjour.

On trouve:



Puisque (k +2)² est positif , le signe de S'k est celui de 2k² + 8k - 8 avec 0 < k < 2

Ce trinôme s'annule pour deux valeurs



On a donc

1- 0 < k < 2(√2 - 1) alors S'k < 0 donc Sk décroissante.

2- 2(√2 - 1) < k < 2 alors S'k > 0 donc Sk croissante.

La fonction présente donc un minimum dans l'intervalle [0 ; 1] ( 2(√2 - 1) < 1 )

L'aire Sk est minimale pour k = 2(√2 -1)


Réponse: Dérivation-Fonction de mathjulie, postée le 25-02-2010 à 15:24:03 (S | E)
Bonjour, merci pour votre réponse, mais il y a quelque chose que je n'ai pas compris:

1- 0 < k < 2(√2 - 1) alors S'k < 0 donc Sk décroissante.

2- 2(√2 - 1) < k < 2 alors S'k > 0 donc Sk croissante.

Et dans le tableau, j'avais mis une ligne pour 2kcarré+8k-8 / une ligne pour (2+k) au carré et ensuite une pour S'(m) et j'avais mis la valeur interdite qui est 2 parce que même si on s'intersse seulement au signe du numérateur il faut quand même mettre la valeur interdite ?

Et pour la 3)b je refais la même chose mais sur l'intervalle ]0;2[ ?

Merci d'avance



[POSTER UNE NOUVELLE REPONSE] [Suivre ce sujet]


<< Forum maths

Partager : Facebook / Twitter / ... 


> INDISPENSABLES : TESTEZ VOTRE NIVEAU | GUIDE DE TRAVAIL | NOS MEILLEURES FICHES | Les fiches les plus populaires | Aide/Contact

> COURS ET TESTS : Abréviations | Accords | Adjectifs | Adverbes | Alphabet | Animaux | Argent | Argot | Articles | Audio | Auxiliaires | Chanson | Communication | Comparatifs/Superlatifs | Composés | Conditionnel | Confusions | Conjonctions | Connecteurs | Contes | Contraires | Corps | Couleurs | Courrier | Cours | Dates | Dialogues | Dictées | Décrire | Démonstratifs | Ecole | Etre | Exclamations | Famille | Faux amis | Films | Formation | Futur | Fêtes | Genre | Goûts | Grammaire | Grands débutants | Guide | Géographie | Heure | Homonymes | Impersonnel | Infinitif | Internet | Inversion | Jeux | Journaux | Lettre manquante | Littérature | Magasin | Maison | Majuscules | Maladies | Mots | Mouvement | Musique | Mélanges | Méthodologie | Métiers | Météo | Nature | Nombres | Noms | Nourriture | Négations | Opinion | Ordres | Participes | Particules | Passif | Passé | Pays | Pluriel | Politesse | Ponctuation | Possession | Poèmes | Pronominaux | Pronoms | Prononciation | Proverbes | Prépositions | Présent | Présenter | Quantité | Question | Relatives | Sports | Style direct | Subjonctif | Subordonnées | Synonymes | Temps | Tests de niveau | Tous les tests | Traductions | Travail | Téléphone | Vidéo | Vie quotidienne | Villes | Voitures | Voyages | Vêtements

> NOS AUTRES SITES : Cours mathématiques | Cours d'espagnol | Cours d'allemand | Cours de français | Cours de maths | Outils utiles | Bac d'anglais | Learn French | Learn English | Créez des exercices

> INFORMATIONS : Copyright - En savoir plus, Aide, Contactez-nous [Conditions d'utilisation] [Conseils de sécurité] Reproductions et traductions interdites sur tout support (voir conditions) | Contenu des sites déposé chaque semaine chez un huissier de justice | Mentions légales / Vie privée | Cookies.
| Cours et exercices d'allemand 100% gratuits, hors abonnement internet auprès d'un fournisseur d'accès.