Angle mesure

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Message de jmsand posté le 30-11-2009 à 09:00:06 (S | E | F)
Bonjour
j'ai de sérieuses difficultés à trouver la solution de cet énoncé
Voulez vous m'aidez je vous remercie
ABC est un triangle isocèle en A,l'angle BAC faisant 20°.
D est un point du coté [AB]tel que l'angle BCD=50°et E est un point du côté [AC]tel que CBE=60°.Les droites BE et CD se coupent en F.Calculer les angles du triangle DEF.
DFE=70°, mais comment calculer les angles EDF et FED?
Est ce qu'il y'a possibilité de trouver une explication

Réponse: Angle mesure de brettdallen, postée le 30-11-2009 à 09:48:11 (S | E)
Bonjour,
Je pense que les spécialistes trouveront d'autres façons de procéder...

ABC est un triangle isocèle en A,l'angle BAC faisant 20°.
D est un point du coté [AB]tel que l'angle BCD=50°et E est un point du côté [AC]tel que CBE=60°.Les droites BE et CD se coupent en F.Calculer les angles du triangle DEF.
DFE=70°, mais comment calculer les angles EDF et FED?

ABC isocèle en A. BAC=20°, donc ABC et ACB ont la mesure d'angle, correspondant à (180-20):2, d'accord?
DCA=ACB-BCD. Vous avez maintenant BCA et vous connaissez déjà BCD, donc DCA= ?
ABE=ABC-CBE, donc...
BEA=180-(BAE+ABE), donc...
ADC=180-(DAC+DCA), donc...

Vous remarquez que AEC fait 10° de plus que ADE, n'est-ce pas? sachant que DFE fait 70°, combien reste-t-il pour DEF et EDF?
Quelle somme de 2 termes, ayant 10 de différence, donne ce résultat?
a + (a+10)= EDA+DEF, sachant que a=EDF et (a+10)=DEF.
Un peu compliquée, ma méthode(je vais en faire sourire plus d'un!), mais bon...
Bon travail!

Réponse: Angle mesure de jmsand, postée le 30-11-2009 à 11:14:27 (S | E)
Bonjour
je donne la mesure des angles que j'ai trouvée:
DCA=30°; ABE=20°, BEA=140°; ADC= 130°
Là où je coince c'est quand vous dites AEC fait 10° de plus que ADE
Je connais pas leur mesure....
et pour: EDF et DEF
je sais que leur somme = 110°; puisque DFE=70°
a+(a+10)=EDF + DEF c'est ce que vous voulez dire
Sachant que a=EDF (pourquoi a ne peut -il paas être DEF???)
a=EDF et (a+10)=DEF
Comment trouver EDF et DEF
Je connaissais déjà DFE=70°
et que DEF + EDF= 110°
mais celà ne suffisait pas.........

Réponse: Angle mesure de jmsand, postée le 30-11-2009 à 13:37:25 (S | E)
re
Est ce que quelqu'un pourrait me donner quelques idées....sur cet énoncé je bloque très sérieusement
Aidez moi

Réponse: Angle mesure de fr, postée le 30-11-2009 à 21:09:48 (S | E)
Bonsoir,

Voici une méthode pour résoudre le problème :

- que peut-on dire de la somme des angles CDE et EDA ?
- que peut-on dire de la somme des angles BED et DEA ?
- que peut-on dire de la somme des angles DEA et EDA ?
- que peut-on dire de la somme des angles CDE et BED ?

Vous avez alors 4 équations à 4 inconnues ... vous n'avez plus qu'à résoudre ...

PS : pour vous faciliter la rédaction, vous pouvez notez les angles, par exemple :
soit α = CDE, β = EDA, γ = BED et δ = DEA

PS : on a CDE = FDE et BED = FED ...

-------------------
Modifié par fr le 30-11-2009 21:20

Oups, en essayant de résoudre ce système d'équations, on s'aperçoit que les 4 équations ne sont pas indépendantes, il faut donc en trouver une autre ...

Réponse: Angle mesure de jmsand, postée le 30-11-2009 à 23:19:31 (S | E)
bonsoir fr

je ne vois pas beaucoup où vous voulez en venir
que peut on dire de la somme de CDE + EDA?
ADC = 180° - (20° + 30°)
ADC = 130°
donc CDE + EDA = 130°
est ce que j'ai bien compris?

Réponse: Angle mesure de fr, postée le 01-12-2009 à 20:29:38 (S | E)
Bonsoir,

Oui, c'est ce à quoi j'ai pensé, mais comme dit, en essayant de résoudre le système on s'aperçoit que les 4 équations ne sont pas indépendantes, on ne peut donc déterminer les angles par cette méthode.

Et je n'ai pas trouvé d'autre équation indépendante des autres (j'en reviens toujours aux mêmes ...)

Réponse: Angle mesure de brettdallen, postée le 01-12-2009 à 20:55:17 (S | E)
Bonsoir,
Mais en procédant comme j'ai fait, on y arrive, alors n'y a-t-il pas un système plus "sophistiqué" et général pour résoudre ce problème?
Cordialement.

Réponse: Angle mesure de taconnet, postée le 01-12-2009 à 21:58:25 (S | E)
Bonjour.

Je me suis absenté quelques jours et je constate que ce probléme vous donne quelques difficultés.

C'est effectivement simple, les calculs sont cependant longs et délicats.
Vous devez utiliser les formules trigonométriques de résolution d'un triangle.
Lorsque j'étais lycéen, il y a fort longtemps, la résolution de ces problémes nécéssitaient l'usage de tables de logarithmes. Ce n'est plus le cas maintenant. Les calculatrices les ont remplacés et les calculs sont moins fastidieux.

Voici ce que vous devez savoir :

Lien Internet

Lien Internet

J'ai fait les calculs en donnant à BC une valeur numérique, je trouve :

$\hat{FDE} \approx \; 80^\circ\\\hat{DEF} \approx \; 30^\circ$

Avez-vous remarqué que les triangles AEB et DBC sont isocèles ?

Je vous laisse chercher, je vous proposerai la solution en fin de semaine.

Réponse: Angle mesure de fr, postée le 01-12-2009 à 22:57:48 (S | E)
Bonsoir Brettdallen,

Ce qui ne va pas dans votre méthode c'est que DE et BC ne sont pas parallèles, on ne peut donc pas conclure sur la différence d'angle entre DEF et EDF

D'ailleurs votre résultat est faux, puisque l'on trouve DEF env. égal à 30° et EDF env. égal à 80°

Une méthode, mais demandant un certain nombre de calculs est de déterminer certaines longueurs intéressantes dans la figure pour pouvoir en déduire les angles :

On a facilement : (si on pose a la longueur de AB)
BC = 2a*sin(10°) = BD
BE = a/2/cos(20°) = AE
Du coup :
AD = a(1-2sin(10°))

on connait donc AD, AE et l'angle DAE dans le triangle ADE ...
en appliquant la formule "Un angle et les deux côtés adjacents" ici : Lien Internet

on a les angles ADE et DEA et on en déduit ceux demandés par simple soustraction ...

-------------------
Modifié par fr le 01-12-2009 23:11

Après calculs on trouve effectivement : ADE env.= 50° et DEA env.= 110°

Par contre, la méthode permettant de prouver l'égalité m'intéresse ...

Réponse: Angle mesure de taconnet, postée le 02-12-2009 à 12:57:20 (S | E)
Bonjour.

Vous pouvez consulter ce formulaire :

Lien Internet

Voici un début pour ceux qui s'intéressent à ce problème qui fait appel à un florilège de formules trigonomètriques.

Dans un premier temps on remarque que les triangles AEB et DBC sont isocèles.

On a donc les égalités :

EA = EB
BD = BC

On pose BC = a (valeur arbitraire)

La loi des sinus permet d'écrire dans le triangle BAC
$\frac{a}{sin 20^\circ} = \frac{AB}{sin 80^\circ}\\donc\\ AB = a.\frac{sin 80^\circ}{sin 20^\circ}$

En utilisant les formules de duplication on obtient après simplifications

AB = a( 1 + 2.cos 20°)

AD = AB - BD = a + 2a.cos 20° - a = 2a.cos20°

AD = 2a.cos20°

Puisque AEB est isocèle alors :

$AE. cos 20^\circ = \frac{AB}{2} \Longleftrightarrow AE = \frac{AB}{2.cos 20^\circ}\\ soit\\ AE = a. \frac{sin 80^\circ}{2.sin 20^\circ cos20^\circ}= a.\frac{sin 80^\circ}{sin 40^\circ} = 2a.cos 40^\circ$

AE = 2a.cos 40°

EC = AC - AE = a( 1 + 2.cos20°)- 2a.cos40°= a( 1 + 2(cos 20° - cos 40°))
En transformant cos 20° - cos 40° on obtient :

EC = a( 1 + 2sin 10°)

Il vous reste maintenant à calculer ED dans le triangle ADE en utilisant le théorème de CARNOT.

Des simplifications permettent d'obtenir un résultat qui vous surprendra.

Ensuite en appliquant la loi des sinus dans le triangle EDC on trouve exactement
80° pour l'angle D.

Bons calculs.

Réponse: Angle mesure de taconnet, postée le 05-12-2009 à 15:55:22 (S | E)
Bonjour.

Je continue...
Calcul de DE.

Dans le triangle DAE on connaît AD , AE et l'angle DÂE.
En appliquant le théorème de Carnot on a :

DE² = AE² + AD² - 2.AD.AEcosÂ
DE² = 4a²cos²20° + 4a²cos²40° - 8a²cos20°.cos40°.cos20°
DE² = 4a²(cos²20° + cos²40° - 2cos²20°.cos40°)
On simplifie chacun des termes de cette différence :

cos²20° + cos²40° = (cos20° + cos40°)² - 2.cos20°cos40°
or
cos20° + cos40° = 2.cos30°cos 10°= √3cos10°
donc
cos²20° + cos²40° = 3cos²10° - 2cos20°cos40°
alors
DE² = 4a²(3cos²10° - 2.cos20°cos40° - 2cos²20°cos40°)
DE² = 4a²(3cos²10° - 2cos20°cos40°(1 + cos20°))
or
1 + cos20° = 2cos²10°
et
2cos20°cos40° = cos 60° + cos20°= 0.5 + cos20°
donc
DE² = 4a²(3cos²10° - 2 cos²10°(0.5 +cos20°))
DE² = 4a²(3cos²10° - cos²10° - 2cos²10°cos20°)
DE² = 4a²(2cos²10° - 2cos²10°cos20°)
DE² = 4a²(2cos²10°(1 - cos20°))
or
1 - cos20° = 2sin²10°
finalement
DE² = 4a².4cos²10°sin²10° = 4a²(2cos10°sin10°)² = 4a² sin² 20°
En conséquence

DE = 2asin20°

Ainsi dans le triangle DEF on peut écrire :

$\frac{DE}{sin 30^\circ} = \frac {EC}{\sin \hat{EDF}}\\ \sin\hat{EDF}= \frac{EC}{2.DE}= \frac{a(1 + 2 sin 10^\circ)}{4a sin 20^\circ }= \frac {1 + 2 sin10^\circ}{4 sin 20^\circ}$

La calculatrice donne exactement 80°

J'ai choisi cette méthode de calcul car on passe en revue de nombreuses formules trigonométriques.

Toutefois on pouvait arriver au résultat plus simplement.

On considère le triangle DAE.

Dans ce triangle on connaît l'angle A et les côtès AE et AD.

On utilise les formules :

$A + D + E = \pi\\ \frac{DE}{sin A} = \frac{AE}{sin D} = \frac{AD}{sin E}$

Qui vont nous permettre de calculer les angles D et E à partir des équations :

$D + E = \pi - A \\ \frac{sin E}{sin D} = \frac{AD}{AE}$

$Puisque \;AD > AE\; alors\; \hat{AED} > \hat{ADE}$

On obtient :

$\frac{AD - AE}{AD + AE} = \frac{sin E - sin D}{sin E + sin D}$

$\frac{2\sin\frac{E-D}{2}\cos\frac{D+E}{2}}{2\sin\frac{D+E}{2}\cos\frac{E-D}{2}}\\$

Vous remarquerez ici que :

Les angles $\frac{D + E}{2}\; et\; \frac{A}{2}$ sont compémentaires

$tg\frac{E-D}{2} = \frac{AD-AE}{AD+AE}cotg\frac{A}{2}$

On constate que le second membre de cette équation est positif.
Cela signifie qu'il existe un angle α et un seul compris entre 0 et π/2 tel que :

$tg\alpha = \frac{AD-AE}{AD+AE}cotg\frac{A}{2}$

AD = 2a cos 20°
AE = 2a cos 40°
AD - AE = 2a (cos 20° - cos 40°) = 2a sin 30°.sin 10°
AD + AE = 2a (cos 20° + cos 40°) = 2a cos 30°.cos 10°

Donc

$tg\alpha = \frac{2a sin30^\circ. sin 10^\circ}{2a cos 30^\circ. cos 10^\circ}. \frac {cos 10^\circ}{sin 10^\circ} = tg30^\circ$

Donc α = 30°

Ainsi

$\frac {E - D}{2} = 30^\circ \; et \ E + D = \pi - A$

En résolvant ce système on obtient :
E = 110° et D = 50°

En remarquant que $\hat{CDE}$ est extérieur au triangle BDC, il a pour valeur :
80° + 50°
Donc $\hat{CDE}$ a pour valeur 80°.

Bonne lecture.

Si vous avez des questions n'hésitez pas à revenir sur le sujet.

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