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Dm de spé maths division euclidienne
Message de sapnaa posté le 13-11-2009 à 22:12:46 (S | E | F)
Bonsoir
J'ai un Dm de spé maths à faire mais je bloque sur plusieurs questions, pourriez vous m'aider s'il vous plait?
Voila le sujet:
Soit n un entier naturel et m un entier relatif.
1. a) Quel est le reste de la division euclidienne de 5^0 par 13?
b) Démontrere que si n est un multiple de 4 alors le reste de la division euclidienne de 5^n par 5 vaut 1.
2. a) Quel est le reste de la division euclidienne de 5^k pour k valant 1,2 ou 3?
b) Démontrer que si le reste de la division euclidienne de n par 4 vaut k, alors le reste de la division euclidienne de 5^n par 13 est constant et noté rk. Determiner r1,r2et r3
3. a)demontrer par recurrence sur n que 5^n et (5+13m)^n ont le même reste dans la division euclidienne par 13
b)determiner le reste de la division euclidienne de 2007^2009 par 13
4. demontrer que, pour tout entier naturel n superieur ou égal à 1, le nombre Un= 31^(4n+1)+ 18(4n-1) est divisible par 13
J'ai fait la 1. a) je trouve 5^0=13X0+1
Et pour la 2. a) je trouve 5^1=13X0+5
5^2=13X0+12
5^3=13X9+8
Sinon, j'ai une piste pour la 1. b):
si n est un multiple de 4 alors n=4k
5^n=13q+1
5^(n)-1 =13q
5^(4k)-1=13q
625^(k)-1=13q et apres je ne sais pas quoi faire
Voila, c'est tout ce que j'ai reussi a faire pour l'instant, pouvez vous m'aider un peu svp?
Merci beaucoup
-------------------
Modifié par sapnaa le 13-11-2009 22:40
Message de sapnaa posté le 13-11-2009 à 22:12:46 (S | E | F)
Bonsoir
J'ai un Dm de spé maths à faire mais je bloque sur plusieurs questions, pourriez vous m'aider s'il vous plait?
Voila le sujet:
Soit n un entier naturel et m un entier relatif.
1. a) Quel est le reste de la division euclidienne de 5^0 par 13?
b) Démontrere que si n est un multiple de 4 alors le reste de la division euclidienne de 5^n par 5 vaut 1.
2. a) Quel est le reste de la division euclidienne de 5^k pour k valant 1,2 ou 3?
b) Démontrer que si le reste de la division euclidienne de n par 4 vaut k, alors le reste de la division euclidienne de 5^n par 13 est constant et noté rk. Determiner r1,r2et r3
3. a)demontrer par recurrence sur n que 5^n et (5+13m)^n ont le même reste dans la division euclidienne par 13
b)determiner le reste de la division euclidienne de 2007^2009 par 13
4. demontrer que, pour tout entier naturel n superieur ou égal à 1, le nombre Un= 31^(4n+1)+ 18(4n-1) est divisible par 13
J'ai fait la 1. a) je trouve 5^0=13X0+1
Et pour la 2. a) je trouve 5^1=13X0+5
5^2=13X0+12
5^3=13X9+8
Sinon, j'ai une piste pour la 1. b):
si n est un multiple de 4 alors n=4k
5^n=13q+1
5^(n)-1 =13q
5^(4k)-1=13q
625^(k)-1=13q et apres je ne sais pas quoi faire
Voila, c'est tout ce que j'ai reussi a faire pour l'instant, pouvez vous m'aider un peu svp?
Merci beaucoup
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Modifié par sapnaa le 13-11-2009 22:40
Réponse: Dm de spé maths division euclidienne de taconnet, postée le 13-11-2009 à 23:33:06 (S | E)
Bonjour.
rectification :
1- b) Démontrere que si n est un multiple de 4 alors le reste de la division euclidienne de 5^n par 5 vaut 1.
Il faut lire : « 5n par 13 vaut 1 »
Pour la question 3- b), remarquez que :
2007 = 5 + 13 x 154
2009 = 4 x 502 + 1
Pour la question 4 et pour ceux que cela intéresse, il s'agit de démontrer que :
est divisible par 13.
Réponse: Dm de spé maths division euclidienne de sapnaa, postée le 14-11-2009 à 11:12:58 (S | E)
Bonjour,
Merci pour la rectification, excusez moi!
Pour la question 1. b) pourriez vous m'aider à continuer s'il vous plait, est ce que je suis sur la bonne voie?
Merci pour vos réponses
Réponse: Dm de spé maths division euclidienne de sapnaa, postée le 14-11-2009 à 11:16:41 (S | E)
Et merci taconnet pour la 3 b) je vais essayer continuer
Réponse: Dm de spé maths division euclidienne de fr, postée le 14-11-2009 à 11:27:11 (S | E)
Bonjour,
Pour le 1b) considérez plutôt 625^k = (624+1)^k ... à développer sachant que 624 est ...
Réponse: Dm de spé maths division euclidienne de sapnaa, postée le 14-11-2009 à 11:35:48 (S | E)
Bonjour fr
Merci beaucoup, je vois ce que vous voulez dire
624=13*48 donc il n'y a pas de reste
Apres je fais 625^k -1 = (624+1)^k -1
= (13*48+1)^k -1
= 1^k -1
Est ce bien cela?
Et apres je fais quoi? Parce qu'il faut démontrer que le reste de 5^n par 13 vaut 1. Or là ça fait 0 .
J'ai dû me tromper quelque part.
Réponse: Dm de spé maths division euclidienne de taconnet, postée le 14-11-2009 à 11:49:36 (S | E)
Bonjour.
Votre devoir fait référence à la démonstration par récurrence.
Pour chaque question, il faut faire appel à une démonstration par récurrence.
Remarque préliminaire :
Dire que le reste de la division de 54p par 13 est 1, c'est dire que
5 4p = 13k + 1
On vous demande de démontrer que si n = 4p alors 5 4p = 13k + 1
Pour p = 1 on a 625 = 48 x 13 + 1 ; vrai pour p = 1
On suppose que 5 4n = 13k' + 1 est vrai pour p = n calculons alors 5 4(n + 1)
5 4(n + 1) = 5 4n x 5 4 = (13k' + 1)(13 x 48 + 1)
En développant le produit qui est au second membre on obtient :
5 4(n +1) = (13k' + 1)(13 x 48 + 1) = 13²x48k' + 13x48 + 13k' + 1 = 13(637k' + 48) + 1 = 13k" + 1; vrai pour p = n + 1
Conclusion " p Î N , 5 4p = 13k + 1
Réponse: Dm de spé maths division euclidienne de sapnaa, postée le 14-11-2009 à 12:19:38 (S | E)
Merci taconnet, j'ai compris ce qu'il fallait faire.
Donc du coup, pour la question 2 b) c'est l meme type de raisonnement par recurrencemais avec une constante k , c'est ca?
Je vais essayer de le faire toute seule et je vous redemande si je bloque, si ca ne vous dérange pas bien sur.
Et pour la 3 b) on remarque aussi que 2009= 13*154+7
Je pense qu'on peut faire quelque chose avec ca, peut etre 13*154+5^(13*154+7) mais je ne sais pas si il y a une simplification possible.
Réponse: Dm de spé maths division euclidienne de fr, postée le 14-11-2009 à 12:23:45 (S | E)
Attention, c'est vous qui avez retranché 1 à 5^n ...
Dans ma démonstration, il faut rester sur 5^n = 5^(4k) = (624+1)^k ...
Vous êtes repartie de votre calcul (5^n - 1 =13q) ...
PS : il n'est pas besoin de faire une démonstration par récurrence si cela n'est pas demandé explicitement dans la question ... ce qui n'est pas le cas pour la question 1b). Pour la question 3a), là on vous demande explicitement une démonstration par récurrence ...
Pour la question 3b, Taconnet vous a montré comment appliquer le résultat de la question 3a) ...
Pour le 4) il suffit d'appliquer 3a) et 2b)
Réponse: Dm de spé maths division euclidienne de sapnaa, postée le 14-11-2009 à 14:08:23 (S | E)
Merci fr, je vois ce que vous voulez dire, je l'ai fait je trouve bien un reste de 1.
Réponse: Dm de spé maths division euclidienne de sapnaa, postée le 14-11-2009 à 14:19:20 (S | E)
Merci à tous je vais essyer de me debrouiller toute seule à présent.
Par contre il me faudrais encore une petite aide pour la 3 a)
Le m on en fait quoi,on le remplace par un nombre ou on le laisse tel quel?
Et on fait une recurrence pour le 5^n puis pour le (3+13m)^n et on trouve le meme resultat a la fin c'est bien ca?
Réponse: Dm de spé maths division euclidienne de fr, postée le 14-11-2009 à 14:21:23 (S | E)
Le m, vous le laissez tel quel : 13m est divisible par 13, c'est tout ce dont on a besoin ...
Non, le principe de la récurrence c'est de montrer que 5^n et (5+13m)^n ont le même reste dans la division par 13 ... (pas séparément) :
Vous supposez que c'est vrai au rang n et vous vous servez de cette supposition au rang n+1 pour simplifier une partie de l'expression en n+1
Réponse: Dm de spé maths division euclidienne de sapnaa, postée le 14-11-2009 à 14:32:10 (S | E)
ca commence comme ca: si n=o alors 5^0=13*0+1 et (5+13m)^0= 1 aussi puisque 13mest divisible par 13.
Et je continue...
Merci beaucoup, vous m'avez beaucoup aidée, c'est très gentil!
Bonne journée à vous
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