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Nombres complexes
Message de californie67 posté le 02-01-2009 à 15:21:07 (S | E | F)
bonjour , je suis entrain de faire un ex exercice de math mais je but sur une question et j' aimerai avoir quelques pistes pour pouvoir répondre à cette question , je vous en remercie par avance, voici l'énoncé.
soit A,B et C les points du plan complexe d'affixe respectives (-racine de deux),1+i,1-i notées zA, ZB,ZC
montrer que le point A est l'image du point B par la rotation de centre O, dont déterminera l'angle, et que C est l'image du point A par cette même rotation.
j'aurais voulu utiliser la formule de la rotation mais le problème c'est que je n'ai pas l'angle et que je dois le trouver... j'avoue que je suis perdu
merci par avance pour l'aide que vous m'apporterez
Message de californie67 posté le 02-01-2009 à 15:21:07 (S | E | F)
bonjour , je suis entrain de faire un ex exercice de math mais je but sur une question et j' aimerai avoir quelques pistes pour pouvoir répondre à cette question , je vous en remercie par avance, voici l'énoncé.
soit A,B et C les points du plan complexe d'affixe respectives (-racine de deux),1+i,1-i notées zA, ZB,ZC
montrer que le point A est l'image du point B par la rotation de centre O, dont déterminera l'angle, et que C est l'image du point A par cette même rotation.
j'aurais voulu utiliser la formule de la rotation mais le problème c'est que je n'ai pas l'angle et que je dois le trouver... j'avoue que je suis perdu
merci par avance pour l'aide que vous m'apporterez
Réponse: Nombres complexes de iza51, postée le 02-01-2009 à 16:25:50 (S | E)
Bonjour,
commence par écrire les nombres complexes sous forme exponentielle
Réponse: Nombres complexes de taconnet, postée le 02-01-2009 à 16:25:58 (S | E)
Bonjour.
Remarquer que |ZA| = |ZB| = |ZC| = √2
Les trois points sont sur un cercle de centre O et de rayon √2.
D'autre part l'argument de ZB est π/4 et celui de ZA est π, donc l'angle BOA vaut 3π/4
A est donc l'image de B dans la rotation de centre O et d'angle 3π/4
vérification :
(1 + i)*e3π/4 = (1 + i)(cos3π/4 + isin3π/4)= (√2/2)(1 + i)(-1 + i) = (√2/2)*(-2) = -√2
Réponse: Nombres complexes de californie67, postée le 02-01-2009 à 16:30:38 (S | E)
bonjour' je l'ai fait
pour -racine de 2 exp i0 =1
pour 1+i: exp ipi/4
pour 1-i: exp(ipi/4)
pour zA teta est égale à pi /2?
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Modifié par californie67 le 02-01-2009 16:37
Réponse: Nombres complexes de iza51, postée le 02-01-2009 à 16:40:14 (S | E)
alors tu n'as pas compris cette notion
pour trouver la forme exponentielle, on cherche d'abord le module du nombre
(appliquer la formule |z|²=x²+y² lorsque z = x+iy avec x et y réels)
ensuite, on met le module en facteur et pour finir, on cherche à reconnaitre les valeurs remarquables à l'aide du cercle trigonométrique
exemple: -√2=√2 (-1+0i)
sur le cercle trigo, (-1; 0) sont les coordonnées du point associé à l'angle π à 2π près
donc -√2=√2 × ei π
non pour zA=-√ 2, l'angle ne mesure pas π/2, il mesure π à 2π près c'est à dire que par exemple -π est une autre mesure
Réponse: Nombres complexes de californie67, postée le 02-01-2009 à 16:52:33 (S | E)
pour ce qui est du module du nombre complexe j'ai compris mais comme les exponentielle je ne les ai pas vu en cours j'avoue que je n'emmêle les pinceaux
les différentes étapes pour montrer que le point A est l'image du point B :
vérifier que les module des nombres complexes sont égaux
utiliser la formule de l'angle de rotation
merci pour votre aide !!!
Réponse: Nombres complexes de iza51, postée le 02-01-2009 à 17:04:38 (S | E)
alors tu as du voir la forme trigonométrique, non?
alors - √2=√2(-1+0i)=√2(cos(pi)+i sin(pi))
1+i=√2 (cos(θ) +i sin(θ)) pour quelle valeur de theta ?
Réponse: Nombres complexes de californie67, postée le 02-01-2009 à 17:07:01 (S | E)
bah, teta vaut pi/4
Réponse: Nombres complexes de californie67, postée le 02-01-2009 à 17:08:20 (S | E)
non j'ai cru que je m'étais trompé mais je crois que c'est cela
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Modifié par californie67 le 02-01-2009 17:10
Réponse: Nombres complexes de iza51, postée le 02-01-2009 à 17:08:45 (S | E)
oui theta vaut pi/4
et pour 1-i ?
Réponse: Nombres complexes de californie67, postée le 02-01-2009 à 17:12:04 (S | E)
-pi/4?
Réponse: Nombres complexes de iza51, postée le 02-01-2009 à 17:19:57 (S | E)
oui
dans ton cours, comment ton prof a t-il défini la rotation de centre O et d'angle theta dans C?
Réponse: Nombres complexes de californie67, postée le 02-01-2009 à 17:32:17 (S | E)
EXCUSEZ moi pour le retard.
z'-w= exp (iteta)*(z-w)
Réponse: Nombres complexes de californie67, postée le 02-01-2009 à 17:33:34 (S | E)
donc ici
za= e(iteta)*z
-------------------
Modifié par californie67 le 02-01-2009 17:47
Réponse: Nombres complexes de iza51, postée le 02-01-2009 à 19:06:23 (S | E)
je ne comprends pas
tu as dit plus haut que tu ne connaissais pas la forme exponentielle ????
pourtant cette formule (za= e^(iteta)*z) utilise la forme exponentielle
Réponse: Nombres complexes de californie67, postée le 03-01-2009 à 13:11:49 (S | E)
oui, je n'ai pas étudier le chapitre des exponentielles c'est pour cette raison que j'ai du mal à comprendre ce la d'autant plus que c'est mon premier execice sur la partie la forme exponentielle.
Réponse: Nombres complexes de iza51, postée le 03-01-2009 à 15:42:34 (S | E)
considère que la forme exponentielle d'un nombre complexe est juste une notation pratique pour simplifier la forme trigonométrique
cos (θ)+ i sin (θ) = ei θ
car c'est juste une notation
la fonction exponentielle ne sert pas dans les nombres complexes; il s'agit de propriétés algébriques similaires (les propriétés sur les exposants que tu connais depuis la classe de 4 ème)
