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Etude d'une fonction logarithm neper
Message de menom posté le 09-12-2008 à 20:09:07 (S | E | F)
Pourriez-vous m'aider, s'il vous plait?
On considere la fonction f definie sur ]-1,+inf[ par
f(x)=x-ln(1+x)
(a) Soit n un entier supérieur à 1. Démontrer que l'équation d'inconnue x :
f(x) =1/n
admet une unique solution dans l'intervalle ]0,+inf[. On notera un cette solution Un.(pas de probleme pour celle-ci. J'utilise le TVI)
(b) Démontrer que la suite Un est strictement décroissante.
(c) Donner une approximation de f(1). En déduire que pour tout entier n >= 4,
0 < Un < 1
D'apres le question avant(que je n'ai pas afficher ici,je trouve que f est croissante sur ]o,+inf[
comment on fait pour le b)? et je ne comprends pas la question c) J'ai l'approximation de f(1) =0,306.et apres?
Merci de l'avance
Message de menom posté le 09-12-2008 à 20:09:07 (S | E | F)
Pourriez-vous m'aider, s'il vous plait?
On considere la fonction f definie sur ]-1,+inf[ par
f(x)=x-ln(1+x)
(a) Soit n un entier supérieur à 1. Démontrer que l'équation d'inconnue x :
f(x) =1/n
admet une unique solution dans l'intervalle ]0,+inf[. On notera un cette solution Un.(pas de probleme pour celle-ci. J'utilise le TVI)
(b) Démontrer que la suite Un est strictement décroissante.
(c) Donner une approximation de f(1). En déduire que pour tout entier n >= 4,
0 < Un < 1
D'apres le question avant(que je n'ai pas afficher ici,je trouve que f est croissante sur ]o,+inf[
comment on fait pour le b)? et je ne comprends pas la question c) J'ai l'approximation de f(1) =0,306.et apres?
Merci de l'avance
Réponse: Etude d'une fonction logarithm neper de iza51, postée le 09-12-2008 à 21:34:55 (S | E)
Bonjour Menom,
pour le a) la fonction est continue et monotone sur [0; +∞[, on applique le TVI qui assure l'existence de solutions ; l'unicité est donnée par la sricte monotonie mais ce n'est plus le TVI
pour le b)
f(un)=1/n
f(un+1)=1/(n+1)
f est croissante sur [0; +∞[
on peut montrer qu'il est impossible que un < un+1
en effet si on avait un < un+1 alors comme f est croissante, on aurait f(un) < f(un+1), donc on aurait ...etc. ce qui est impossible (démonstration par l'absurde)
(c) tu dis f(1)vaut environ 0.306.
Alors 0 <1/(n+1) < 1/n < 1/5 <1/4 < f(1) < 1/3 < 1/2 <1
et alors un+1 < un < u5 < u4 < 1 < u3 etc
Ainsi pour tout entier n >= 4,
0 < Un < 1
Réponse: Etude d'une fonction logarithm neper de menom, postée le 10-12-2008 à 00:32:34 (S | E)
Bonjour Iza,
peut-on montrer le b) en utilisant le TAF?
(f(1)-f(Un))/(1-Un)=f'(c)>=0
Réponse: Etude d'une fonction logarithm neper de iza51, postée le 10-12-2008 à 17:07:33 (S | E)
Bonjour Menom,
tu demandes si on peut montrer le b) en utilisant le TAF?
il existe c compris entre 1 et un tel que (f(1)-f(Un))/(1-Un)=f'(c)≥ 0 car f'(x)= x / (x+1) >0 pour tout x > 0,
Donc f(1)-f(un) et 1- un ont le même signe
f(1)= et f(un)=1/n
Lorsque n ≥ 4, on a 0 < 1/n ≤1/4 ≤ f(1)
etc.
la réponse est oui; il faut aussi préciser pourquoi un > 0 (solution positive de l'équation ...=
Réponse: Etude d'une fonction logarithm neper de menom, postée le 10-12-2008 à 17:22:45 (S | E)
Merci bien!
