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Pour les curieux en maths
Message de davidb86 posté le 20-11-2008 à 14:28:06 (S | E | F)
Bonjour.
Voici un exercice destiné à ceux qui aiment les mathématiques:
Je considère la somme S suivante:
S = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 +........etc
C'est une somme infinie. Mais que vaut-elle?
Première idée:
S = (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) +....etc
= 0 + 0 + 0 + 0 +...... = 0
Deuxième idée:
S = 1 + (-1+1) + (-1+1) + (-1+1) +.......etc
= 1 + 0 + 0 + 0 + 0 +........ = 1
(je n'ai fait que changer l'ordre des parenthèses : cette opération s'appelle l'associativité de l'addition et est totalement juste).
Troisième idée: (plus subtile)
Soit x un nombre et soit A la somme: A = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 +....
On a donc: x*A = x*(1 + x + x^2 + x^3 + x^4 +....)
= x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 +......
maintenant,faisons la différence A-x*A:
on obtient: A - x*A = (1+x+x^2+x^3+....) - (x+x^2+x^3+x^4+.....)
= 1
On trouve donc A - x*A = 1
donc A*(1-x) = 1
donc A=1/(1-x) (En supposant x différant de 1)
Or rappelons que A a été défini comme A = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 +....
Donc on obtient la très jolie formule:
1/(1-x) = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 +....
Maintenant, prenons x = -1 :
On obtient 1/(1-(-1)) = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - .........etc
c'est-à-dire : 1/2 = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - ...........etc
Donc S = 1/2
(c'était la solution qu'avait donné le génial mathématicien Euler à ce problème)
Conclusion:
On a défini la somme S = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - ..........
et on a montré que:
1)S = 0
2)S = 1
3)S = 1/2
Quel est ce mystère et Euler avait-il raison ?
-------------------
Modifié par lucile83 le 20-11-2008 14:35
+ titre
Message de davidb86 posté le 20-11-2008 à 14:28:06 (S | E | F)
Bonjour.
Voici un exercice destiné à ceux qui aiment les mathématiques:
Je considère la somme S suivante:
S = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 +........etc
C'est une somme infinie. Mais que vaut-elle?
Première idée:
S = (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) +....etc
= 0 + 0 + 0 + 0 +...... = 0
Deuxième idée:
S = 1 + (-1+1) + (-1+1) + (-1+1) +.......etc
= 1 + 0 + 0 + 0 + 0 +........ = 1
(je n'ai fait que changer l'ordre des parenthèses : cette opération s'appelle l'associativité de l'addition et est totalement juste).
Troisième idée: (plus subtile)
Soit x un nombre et soit A la somme: A = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 +....
On a donc: x*A = x*(1 + x + x^2 + x^3 + x^4 +....)
= x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 +......
maintenant,faisons la différence A-x*A:
on obtient: A - x*A = (1+x+x^2+x^3+....) - (x+x^2+x^3+x^4+.....)
= 1
On trouve donc A - x*A = 1
donc A*(1-x) = 1
donc A=1/(1-x) (En supposant x différant de 1)
Or rappelons que A a été défini comme A = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 +....
Donc on obtient la très jolie formule:
1/(1-x) = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 +....
Maintenant, prenons x = -1 :
On obtient 1/(1-(-1)) = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - .........etc
c'est-à-dire : 1/2 = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - ...........etc
Donc S = 1/2
(c'était la solution qu'avait donné le génial mathématicien Euler à ce problème)
Conclusion:
On a défini la somme S = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - ..........
et on a montré que:
1)S = 0
2)S = 1
3)S = 1/2
Quel est ce mystère et Euler avait-il raison ?
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Modifié par lucile83 le 20-11-2008 14:35
+ titre
Réponse: Pour les curieux en maths de fr, postée le 20-11-2008 à 16:10:48 (S | E)
Bonjour,
le problème vient d'un abus de langage :
En posant S=1-1+1-1+1+... on suppose que cette somme existe, or "..." n'est pas une expression mathématique, mais simplement une convention d'écriture pour une limite, encore faut-il que cette limite existe, je m'explique :
Considérons la suite Un=1 si n est pair et Un=-1 si n est impaire (on a Un=(-1)n )
Soit Vn= somme de i=0 à i=n (Un)
On a donc Vn=1-1+1-1+...1 (avec n termes) or cette suite n'a pas de limite, on ne peut donc poser S=1-1+1-1+1+... (par abus de langage de limite Vn quand n->+infini), puisque cette limite n'existe pas !
Les 2 premières propositions sont donc caduques ...
Quant à la troisième, c'est également un problème de limite sur des séries de fonctions et le domaine de définition d'une fonction:
A est fonction de x, donc écrivons A(x)=limite n->+infini somme i=0 à i=n (xi), cette limite n'existe que pour x appartenant à ]-1;1[
Le domaine de définition de A(x) est ]-1;1[ il est donc, notamment, non défini en 1 et -1.
l'expression A(x)-x*A(x) est donc définie sur ]-1;1[, on ne peut donc appliquer le calcul de A(x)-x*A(x) à x=-1, car -1 n'est pas inclus dans le domaine de définition de la fonction A(x).
Voilà mon avis sur la question ...
On peut aborder le problème de manière plus simple, en posant
Fn(x)=somme i=0 à i=n (xi - x(i+1))
On a facilement : Fn(x)=1-x(n+1)
On voit alors que F(x)=lim (Fn(x)) quand n-> +infini est défini pour x appartenant à ]-1;1]
Si on pose An(x)=somme i=0 à i=n (x exposant n),
on a : Fn(x)=An(x) - x An(x) pour x réel
An(x), Fn(x) sont définis pour tout x réel et tout n entier naturel,
mais lim An(x) quand n->+infini n'est pour autant défini que pour x compris dans ]-1;1[ et lim Fn(x) quand n->+infini pour x compris dans ]-1;1]
Remarque : on a F(x)=1, pour x appartenant à ]-1;1[ et F(1)=0 ... (F(x) est discontinu en 1)
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Modifié par fr le 21-11-2008 11:38
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Modifié par fr le 22-11-2008 21:43
Réponse: Pour les curieux en maths de davidb86, postée le 20-11-2008 à 18:00:27 (S | E)
Bravo lucile83.
Quelque chose me dit que tu n'est pas une élève de collège ou lycée,est-ce que je me trompe?
PS:merci pour les fautes d'aurtograffes (pardon,d'orthographes).
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Modifié par lucile83 le 21-11-2008 10:10
orthographe sans 's'
Réponse: Pour les curieux en maths de davidb86, postée le 20-11-2008 à 18:18:49 (S | E)
re-bonjour,
->Voici un autre petit problème:
Montrer que 2 = racine(2+racine(2+racine(2+racine(2+........etc
->Et une question que je me pose:
A t-on dans le même style: 1 = racine(racine(racine(racine.......etc
qui serait une notation assez abstraite de 1.
Réponse: Pour les curieux en maths de taconnet, postée le 21-11-2008 à 09:40:02 (S | E)
Bonjour.
De célèbres mathématiciens se sont penchés sur ce problème.
Aussi je ne m'étendrai pas sur cette question.
Voir ce lien :
Lien Internet
Le second exercice fait appel aux suites récurrentes.
Considérons la fonction :
et la suite Un définie par la relation de récurrence :
1- On montre que pour tout n la suite Un est bornée.
En effet :
U1 < 2
supposons alors Un < 2 et démontrons que Un + 1 < 2
d'autre part :
On a donc montré que Un est :
- bornée
et
- croissante
Elle est donc convergente.
sa limite L est donc la solution de l'équation :
L est donc la solution de
d'où
L = 2
conséquence :
Réponse: Pour les curieux en maths de davidb86, postée le 21-11-2008 à 18:25:22 (S | E)
Bonjour,
merci pour cette démonstration rigoureuse.
Toutefois,il reste un point à éclairer: Pour montrer que la suite (Un) est croissante, vous calculez U(n+1)-Un,mais vous écrivez:
Rc(Un+2) - Un = 2 / (Rc(Un+2) + Un).
Je ne suis pas sûr que ça soit juste. En effet, en multipliant
Rc(Un+2) - Un par sa quantité conjuguée, on obtient:
[Rc(Un+2) - Un]*[Rc(Un+2) + Un]/[Rc(Un+2) + Un]
= [-Un^2 + Un + 2]/[Rc(Un+2)+Un].
Mais ça change pas grand chose car sur [0;2] la fonction x -> -x^2 + x + 2
est positive, donc il en est de même pour U(n+1) - Un et donc la suite (Un) est croissante.
Réponse: Pour les curieux en maths de taconnet, postée le 21-11-2008 à 19:22:47 (S | E)
Bonjour.
Merci d'avoir relu.
En rédigeant j'ai oublié des termes et une démonstration.
Voici le complément
Il faut prouver maintenant que Un + 2 - U²n > 0 pour tout n.
En effet il a été montré que pour tout n
2 > Un
d'où
2Un > U²n
et
2 + Un > 2Un
donc
2 + Un > U²n
et on enchaîne avec la suite......
Réponse: Pour les curieux en maths de mahjoubi, postée le 23-11-2008 à 21:06:55 (S | E)
T'a 3 solutions et 3seulements
1) si on a un nombre paire des sommes de 1 alors S=0
2) si on a un nombre impaire des sommes de 1 alors S=1
3) si le nombre des 1 est infini pas de solution
