<< Forum maths || En bas
Les valeurs intermédiaires
Message de californie67 posté le 09-11-2008 à 15:11:56 (S | E | F)
bonjour, j'ai un petit exercice à faire , mais je ne sais par où commencer c'est le n exposant qui me perturbe... si vous pouvez me donner quelques pistes je vous en serait très reconnaissante
soit n un entier strictement positif et f n la fonction définie tel que
fn(x)=x^n+x-1
1) montrer que l'équation fn(x)=0 a une solution unique qui appartient à l'intervalle ]0;1[.
2) retrouver ce résultat en considèrent les représentation graphique des fonction x a qui on associe x^n ET x à qui on associe -X+1
3)on note u la solution de l'équation fn(x)=0
déterminer une valeur à 10^-2 près de u1, u2 et u3
merci
Message de californie67 posté le 09-11-2008 à 15:11:56 (S | E | F)
bonjour, j'ai un petit exercice à faire , mais je ne sais par où commencer c'est le n exposant qui me perturbe... si vous pouvez me donner quelques pistes je vous en serait très reconnaissante
soit n un entier strictement positif et f n la fonction définie tel que
fn(x)=x^n+x-1
1) montrer que l'équation fn(x)=0 a une solution unique qui appartient à l'intervalle ]0;1[.
2) retrouver ce résultat en considèrent les représentation graphique des fonction x a qui on associe x^n ET x à qui on associe -X+1
3)on note u la solution de l'équation fn(x)=0
déterminer une valeur à 10^-2 près de u1, u2 et u3
merci
Réponse: Les valeurs intermédiaires de iza51, postée le 09-11-2008 à 16:09:07 (S | E)
Bonjour,
tu as mis en titre "valeurs intermédiaires"
1) la fonction f (je ne mets pas fn pour simplifier) est définie par f(x)=x^n+x-1
tu peux:
- étudier ses variations (méthode habituelle)
- dresser son tableau d evariations sur [0; 1]
- appliquer le "théorème des valeurs intermédiaires" pour prouver qu'il y a des solutions à l'équation f(x)=0
- et travailler ensuite sur des intervalles où f est strictement monotone et appliquant le "théorème de la bijection" pour trouver le nombre de solutions
2) voir les points d'intersection
3) utiliser la calculatrice pour encadrer les solutions demandées
Réponse: Les valeurs intermédiaires de californie67, postée le 09-11-2008 à 16:28:38 (S | E)
oui, mais comment je peux étudier la variations si je n'ai par la valeur n
car si n =2
la fonction n'est pas strictement croissante
Réponse: Les valeurs intermédiaires de californie67, postée le 09-11-2008 à 16:32:25 (S | E)
où j'étudie la fonction seulement sur [0;1]?
SUR CE intervalle elles est strictement croissante car f(x)est supérieur à 0
Réponse: Les valeurs intermédiaires de californie67, postée le 09-11-2008 à 16:36:36 (S | E)
f(0)=-1
f(1)=1
o est compris entre 1 et -1 donc d'après le théorème des valeurs intremédiaire
f(x) admet une solution qui est 0
Réponse: Les valeurs intermédiaires de iza51, postée le 09-11-2008 à 16:40:52 (S | E)
oui l'étude sur [0; 1> permet de répondre à la question posée
note: pour le sens de f, c'est le signe de la dérivée qu'il faut donner (pas celui de f)
note: tu peux modifier ce que tu postes en cliquant sur E
oui f(x)=0 admet au moins une solution (théo des V. I. ) car f est continue sur [0; 1]et car f(0)<0 et f(1)>0
pour l'unicité, il faut ajouter en plus la stricte monotonie (mais bien séparer en deux car il s'agit d'un autre théorème)
-------------------
Modifié par iza51 le 09-11-2008 16:41
Réponse: Les valeurs intermédiaires de californie67, postée le 10-11-2008 à 17:31:11 (S | E)
merci mais je n'ai pas eu le temps de vous répondre j'ai faite la première question par contre la deuxième je ne vois pas comment je dois m'y prendre si vous pourriez me lancer sur la piste je vous en serais très reconnaissante
Réponse: Les valeurs intermédiaires de californie67, postée le 10-11-2008 à 17:52:55 (S | E)
en faite je pense que graphiquement en traçant x^n et -x+1 on remarque que les 2 courbes se coupent en un point et que ce point est la solution à la question 1 mais je ne sais pas trop
Réponse: Les valeurs intermédiaires de iza51, postée le 10-11-2008 à 17:56:22 (S | E)
Bonjour,
trace la droite d'équation y=-x+1 et la courbe d'équation y=x² sur [0; 1]
quels sont les points d'intersection?
recommence et trace la droite d'équation y=-x+1 et la courbe d'équation y=x ³ sur [0; 1]
quels sont les points d'intersection?
recommence avec y=x^4
etc
tu peux le faire avec le logiciel Géogébra
tapes Géogébra en ligne
et écris -x+1 sur la barre de saisie puis entrée
idem avec y=x²
ajout: réponse au post ci dessus: oui c'est ça! enfin la solution ce n'est pas le point d'intersection, c'est son abscisse
-------------------
Modifié par iza51 le 10-11-2008 17:56
Réponse: Les valeurs intermédiaires de californie67, postée le 10-11-2008 à 18:13:38 (S | E)
merci et comment je pourrais justifier cela
Réponse: Les valeurs intermédiaires de iza51, postée le 10-11-2008 à 18:18:15 (S | E)
La démonstration est faite en 1)
en 2) on vérifie graphiquement que la courbe d'éqation y=x^n pour n=2 ou 3 ou 4 et la droite n'ont qu'un seul point d'intersection
on le justifie simplement par un schéma et une petite phrase
Réponse: Les valeurs intermédiaires de californie67, postée le 10-11-2008 à 18:21:57 (S | E)
merci beaucoup pour votre aide
par contre j'aurais encore une question pour la 3)j'utilise la méthode de l'encadrement par dichotomie
Réponse: Les valeurs intermédiaires de iza51, postée le 10-11-2008 à 18:37:06 (S | E)
dichotomie ou balayage
avec une calculatrice, le balayage est bien adapté
On entre la formule X²-X+1 dans la partie où on définit une fonction (par exemple Y1=X²-X+1)
on demande un tableau de calculs avec le "range"
X début=0
X fin=1
Pas =0.1
on regarde quand ça change de signe (ici entre 0.6 et 0.7)
tu modifies le "range"
X début=0.6
X fin=0.7
Pas =0.01
etc. et tu obtiens des valeurs approchées de u2
Réponse: Les valeurs intermédiaires de californie67, postée le 10-11-2008 à 18:47:36 (S | E)
pour delta tbl je mets 1 ou 0.1
Réponse: Les valeurs intermédiaires de californie67, postée le 10-11-2008 à 18:49:04 (S | E)
et u1 se trouve entre 0.6 et 0.7
Réponse: Les valeurs intermédiaires de iza51, postée le 10-11-2008 à 19:08:20 (S | E)
un est la solution de l'équation fn(x)=0
donc u1 est la solution de l'équation x^1+x-1=0 cad de 2x=1
la réponse est immédiate!
c'est u2, la solution dans [0; 1] de l'équation x²+x-1=0 , qui est compris entre 0,6 et 0,7
tu pourras vérifier avec Géogébra en cliquant sur l'icône "intersection" (en déroulant le menu sous l'icône "point"); le logiciel t'indique alors les coordonnées des points d'intersection avec 2 décimales (on peut lui demander jusqu'à 6 décimales)
Réponse: Les valeurs intermédiaires de californie67, postée le 10-11-2008 à 19:19:28 (S | E)
merci, mais je n'ai jamais utilisée ce logiciel, comment je fais pour tracer la courbe?
Réponse: Les valeurs intermédiaires de iza51, postée le 10-11-2008 à 20:05:06 (S | E)
je n'avais pas vu ton posten bas, il y a une barre de saisie; tu inscris -x+1
en appuyant sur entrée, tu as la droite
de nouveau sur la barre de saisie, tu tapes x² ou x^2
en appuyant sur entrée tu obtiens la parabole
il y a aussi une fenêtre d'algèbre dans laquelle le logiciel définit les fonctions associées aux courbes ; ensuite il y a une icône "intersection"
POur vérifier une dérivée, tu peux demander le tracé de la fonction f puis le tracé de la courbe de f ' et l'expression de la dérivée de f
[dans la barre de saisie, tu tapes Dérivée[f]
en cherchant tu trouveras toute seule (il y a une partie "commande" (en bas à droite de la barre de saisie) ... et des icônes)
Réponse: Les valeurs intermédiaires de californie67, postée le 11-11-2008 à 10:39:06 (S | E)
merci beaucoup, j'ai reussi à trouver u1,u2 et u3 pour u1 j'ai trouvée que la solution est comprise entre 0.49 et 0.5 pour u2 j'ai torouvé que la solution est comprise entre 0.61 et 0.62 et enfin pour u3 j'ai trouvé qu'elle était comprise entre 0.68 et 0.69( j'ose esperer que c juste)
par contre on me pose une 4ème question je pensais que j'arriverai à la faire mais j'avoue que non
4) calculer fn(1) (cela c fait j'ai trouvé 1); en déduire qu'elle est majorée ( je doit justifier ou pas ?)ensuite calculer fn+1(un); en déduire que la suite est croissante , puis qu'elle est convergente (pour en déduire que la suite est croissante , puis qu'elle est convergente je pense que je 'aurais faire mais ce qui me perturbe c'est que l'on passe de l'étude d'une fonction à l'étude d'une suite)
-------------------
Modifié par californie67 le 11-11-2008 10:39
-------------------
Modifié par californie67 le 11-11-2008 10:40
-------------------
Modifié par californie67 le 11-11-2008 13:16
Réponse: Les valeurs intermédiaires de californie67, postée le 11-11-2008 à 13:40:26 (S | E)
je crois que je me suis trompé dans mes calcules si vous pourriez m'aider je vous en serais très reconnaissante
marci par avance
Réponse: Les valeurs intermédiaires de iza51, postée le 11-11-2008 à 13:50:26 (S | E)
u1= solution de 2x-1=0; c'est 0.5 exactement
les encadrements donnés pour les autres sont corrects
fn(1)=1 en déduire qu'elle est majorée Oui,on justifie ( sens de variations et valeur de f(1) )
ensuite calculer fn+1(un)
Ne pas se laisser perturber par le passage de l'étude d'une fonction à l'étude d'une suite
ON rappelle que: un= solution de xn+x-1=0
on en tire les conséquences donc (un)n=-un+1
ensuite on fait le calcul demandé
je te laisse faire la suite
Réponse: Les valeurs intermédiaires de californie67, postée le 11-11-2008 à 13:55:13 (S | E)
merci beaucoup,mais pour calculer fn+1(un)jutilise la reponse que j'ai trouvée en 1
Réponse: Les valeurs intermédiaires de iza51, postée le 11-11-2008 à 14:00:26 (S | E)
non
on se sert de la définition de f
fn+1(x)=xn+1+x-1
on remplace x par un en se servant de la remarque du post précédent
Réponse: Les valeurs intermédiaires de californie67, postée le 11-11-2008 à 14:05:08 (S | E)
donc
cela fait (un)^n+1+un-1
donc pour prouver que la suite (un) est croissante il me suffit de faire
fn+1-fn
Réponse: Les valeurs intermédiaires de iza51, postée le 11-11-2008 à 14:15:59 (S | E)
pour montrer que la suite est croissante, on calcule un+1-un (pas de calcul direct sur f )
Réponse: Les valeurs intermédiaires de californie67, postée le 11-11-2008 à 14:21:03 (S | E)
merci mais je ne connais pas un+1
je suis vraiment désolé de vous embêté mais je ne commprend rien ça fait 3 jour que je suis penché dessus mais je ne comprend s pas , je suis désolé je voudrais pas vous embêtez
excusez moi encore
Réponse: Les valeurs intermédiaires de iza51, postée le 11-11-2008 à 14:33:54 (S | E)
fais autre chose: c 'est l'anniversaire de ma fille et on mange un gâteau
je fais ton exo un peu plus tard
Réponse: Les valeurs intermédiaires de californie67, postée le 11-11-2008 à 14:35:45 (S | E)
veuillez m'excuser encore
Réponse: Les valeurs intermédiaires de iza51, postée le 11-11-2008 à 17:13:03 (S | E)
fn+1(un)=(un)n+1+un-1
on peut montrer que c'est d'une part égal à un - un+1
et d'autre part égal à -(un-1)²
[pour les calculs, il faudra se rappeler que (un)n+1=(un)(un)n]
si tu ne trouves pas, admet que la suite est croissante et termine l'exercice
on peut en déduire que la suite est croissante
et on utilise le théorème: tout suite croissante et majorée est convergente
etc.
Réponse: Les valeurs intermédiaires de californie67, postée le 11-11-2008 à 17:34:06 (S | E)
merci donc j'obtiens
un+1=-un^n+1
donc en faisant un+1-un j'obtiens
un+1= un* un^n +1 -un
j'obtiens 1 qui est suppérieur à 0 donc la suite est strictement croissante
