Isométrie
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Message de rowen posté le 04-05-2024 à 16:59:07 (S | E | F)
Bonjour,j'ai besoin d'aide pour cet exercice : Soit a, b, c ∈ R et A ∈ M3(R) la matrice
A =
⎛a c b⎞
⎜b a c⎟
⎝c a b⎠
On pose S = a + b + c et σ = ab + bc + ca.
(1) Montrer que A ∈ O3(R) si et seulement si S ∈ {±1} et σ = 0.
(2) On suppose S = 1 et σ = 0. Caractériser géométriquement l’isométrie de R3 dont la matrice dans la base canonique est A.
(1) A ∈ M3(R) transposée(A)*A=I3
a^2+b^2+c^2=1 et ab+bc+ca=0
S ∈ {±1} et σ = 0
(2) det (A)=±1
On calcule l'espace propre des valeurs propres ±1
A(1,1,1)=(a+b+c)(1,1,1)⇒(1,1,1) vecteur propres de valeur propre 1
f1=(1,1,1) engendre l'espace propre V de valeur propre +1
V^⊥ e2=(1,-1,0),e3=(1,1,-2)⇒f2(1,-1,0) f3(1,1,-2) est une base orthonormée de V
On doit chercher α,ß tel que:
Af2= αf2+ßf3
Af3= -ßf2+αf
ß^2+α^2=1
et cosθ=α et sinθ=ß sauf que je ne comprends pas comment calculer α,ß
Merci d'avance pour votre aide
Message de rowen posté le 04-05-2024 à 16:59:07 (S | E | F)
Bonjour,j'ai besoin d'aide pour cet exercice : Soit a, b, c ∈ R et A ∈ M3(R) la matrice
A =
⎛a c b⎞
⎜b a c⎟
⎝c a b⎠
On pose S = a + b + c et σ = ab + bc + ca.
(1) Montrer que A ∈ O3(R) si et seulement si S ∈ {±1} et σ = 0.
(2) On suppose S = 1 et σ = 0. Caractériser géométriquement l’isométrie de R3 dont la matrice dans la base canonique est A.
(1) A ∈ M3(R) transposée(A)*A=I3
a^2+b^2+c^2=1 et ab+bc+ca=0
S ∈ {±1} et σ = 0
(2) det (A)=±1
On calcule l'espace propre des valeurs propres ±1
A(1,1,1)=(a+b+c)(1,1,1)⇒(1,1,1) vecteur propres de valeur propre 1
f1=(1,1,1) engendre l'espace propre V de valeur propre +1
V^⊥ e2=(1,-1,0),e3=(1,1,-2)⇒f2(1,-1,0) f3(1,1,-2) est une base orthonormée de V
On doit chercher α,ß tel que:
Af2= αf2+ßf3
Af3= -ßf2+αf
ß^2+α^2=1
et cosθ=α et sinθ=ß sauf que je ne comprends pas comment calculer α,ß
Merci d'avance pour votre aide
Réponse : Isométrie de flaja, postée le 05-05-2024 à 22:37:03 (S | E)
petite correction sur la 3ème ligne :
A =
a c b
b a c
c b a
précision :
S2 = a²+b²+c² = S² - 2 sigma = 1
3 inconnues : a, b, c
2 équations : S = 1, sigma = 0
=> les résultats dépendent d'une variable libre (par exemple a)
S = 1 => c = 1 - a - b
sigma = 0 => donne une équation en b² avec 2 solutions :
tout exprimer en fonction de a est trop compliqué
On va exprimer la transformation en fonction de phi :
images des vecteurs de base i,j,k : coordonnées (a,b,c) ou leur permutation
Localisation des points de coordonnées (a,b,c) dans l'espace :
S = 1 : images dans le plan passant par les extrêmités de i, j, k
de vecteur normal n = [1,1,1]/sqrt(3)
de distance à l'origine : 3 d / sqrt(3) = 1 soit d = 1/sqrt(3)
S2 = S² - 2 sigma = 1 : images sur la sphère de rayon 1
L'intersection entre ce plan et la sphère est un cercle de centre OC = n d = [1,1,1]/3
# centre du cercle : centre de gravité du triangle des extrêmités de (i,j,k)
n = ( 1/3, 1/3, 1/3 )
# rayon du cercle passant par l'extrêmité de k :
r = k - n = (-1/3, -1/3, 2/3)
t = n.cross_product(r) / abs(n) = (1/sqrt(3), -1/sqrt(3), 0)
Les coefficients (a,b,c) peuvent être paramétrés par phi dans [0, 2pi]
point (b, c, a) = t*sin(phi) + r*cos(phi) + n
b = sqrt(1/3)*sin(phi) - 1/3*cos(phi) + 1/3
c = -sqrt(1/3)*sin(phi) - 1/3*cos(phi) + 1/3
a = 2/3*cos(phi) + 1/3
c'est une rotation d'angle phi % (1,1,1)
les valeurs propres sont : 1, exp(i phi), exp(-i phi)
les vecteurs propres autres que (1,1,1) ont des coefficients complexes
calcul d'une rotation d'axe n=(1,1,1) d'angle phi :
calcul des images des vecteurs de base v = [1,0,0], [0,1,0], [0,0,1]
# projection selon n
alpha = v.dot_product(n) / n.dot_product(n)
v1 = alpha * n
# partie orthogonale à n
v2 = v - v1
# troisième vecteur perpendiculaire à l'espace (v1,v2)
v3 = v1.cross_product(v2) / abs(v1)
f(v) = v1 + cos(phi)*v2 + sin(phi)*v3
redonne bien la matrice A(phi)
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