Aide en Base orthogonale
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Message de nanii777 posté le 28-12-2023 à 00:45:49 (S | E | F)
Bonsoir, svp aidez moi dans cet exercice , c'est un examen
Dans R3 muni de sa base canonique B = (e1; e2; e3), on considère l'application p: R3xR3 → R
définie pour tout X = (x;y;z), X' = (x';y’;z') appartient à R3 par :
Q(X; X') = (x+y)(x' + y’) + (x- y - z)(x' - y’ - z’) + zz’
1)Montrer que Q définit un produit scalaire.
2)Déterminer une base Q - orthogonale de E.
merci infiniment
Message de nanii777 posté le 28-12-2023 à 00:45:49 (S | E | F)
Bonsoir, svp aidez moi dans cet exercice , c'est un examen
Dans R3 muni de sa base canonique B = (e1; e2; e3), on considère l'application p: R3xR3 → R
définie pour tout X = (x;y;z), X' = (x';y’;z') appartient à R3 par :
Q(X; X') = (x+y)(x' + y’) + (x- y - z)(x' - y’ - z’) + zz’
1)Montrer que Q définit un produit scalaire.
2)Déterminer une base Q - orthogonale de E.
merci infiniment
Réponse : Aide en Base orthogonale de tiruxa, postée le 28-12-2023 à 16:20:57 (S | E)
Bonjour
1)
Pour la bilinéarité c'est assez long, je ne vais pas le faire ici, la symétrie est claire par définition pour la positivité stricte :
Q(X;X) est une somme de carrés donc est positif de plus si Q(X;X)=0 les trois carrés sont nuls donc z=0, x+y =0 et x-y-z=0 ce qui aboutit à x=y=z=0
Donc si X est non nul Q(X;X)>0
2)
Prenons u=(0,0,1) et X=(x,y,z)
Q(u;X)=0 <=> 0+(-1)(x-y-z)+z=0<=>x=y+2z
Donc v=(1,1,0) est orthogonal à u
de même w=(y+2z,y,z) est orthogonal à u
Reste à déterminer y et z pour que Q(v,w)=0
Q(v,w)=0 <=> 2(y+2z+y)+0+0=0 <=> y=-z
Donc w=(1,-1,1) est orthogonal à v et bien sûr à u.
Comme det(u,v,w) est non ul (u,v,w) est une base Q-orthogonale de E.
Réponse : Aide en Base orthogonale de nanii777, postée le 28-12-2023 à 19:54:42 (S | E)
Bonsoir, merci pour la réponse;mais comment t'as trouvé u/v/w. c'est au hasard?? ou bien il ya une astuce
Réponse : Aide en Base orthogonale de tiruxa, postée le 28-12-2023 à 21:41:06 (S | E)
J'ai expliqué le choix de v et de w, pour u effectivement je le prends au hasard
En effet on peut prendre u=(1,0,0) et utiliser la même méthode... car trois vecteurs non nuls et deux à deux orthogonaux forment une base R^3.
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