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Algèbre linaire

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Algèbre linaire
Message de dani1505 posté le 20-04-2020 à 14:27:38 (S | E | F)
Bonjour,
J’aimerais avoir un peu d’aide sur cet exercice niveau 1er année licence maths. L’exercice est le suivant:



1) On considère l’espace vectoriel E1 = C^1 (R) des fonctions avec dérivée continue sur R, muni des opérations usuelles de somme de fonctions et produit d’une fonction par un scalaire.

a) Soit F1 ={f∈E1 | f(0)=0 et f′(0)=0}.Montrer que F1 est un sous-espace vectoriel de E1.
b) Soit G1 ={g∈E1 | ∃a,b∈R, ∀t∈R, g(t)=at+b}.Montrer
que G1 est un sous-espace vectoriel de dimension 2 de E1.
c) Prouver que E1 = F1 ⊕ G1.

2) On considère maintenant l’espace vectoriel En = Cn(R) des fonctions avec n dérivées continues sur R, muni des opérations usuelles de somme de fonctions et produit d’une fonction par un scalaire. Notons :
Fn = {f ∈ En | f(0) = 0, f′(0) = 0,...,f(n)(0) = 0}.
En s’inspirant des questions précédentes, trouver un sous-espace vectoriel de dimension finie Gn tel que En = Fn ⊕ Gn.

J’ai réussi la première question sans difficulté apparente. C’est en revanche sur la 2ème question ou j’ai du mal. La fonction nulle ne semble pas appartenir à G1 non ? (G1 ne pourrait donc pas être un sous espace de E1). Je ne sais pas vraiment non plus comment prouver sa dimension.
Merci d’avance de votre aide.


Réponse : Algèbre linaire de roseodile, postée le 20-04-2020 à 14:47:08 (S | E)
Bonjour,
Les fonctions appartenant à G1sont des fonctions bien connues depuis le lycée, je pense que vous faites erreur la fonction nulle est bien une fonction de G1



Réponse : Algèbre linaire de tiruxa, postée le 20-04-2020 à 18:54:08 (S | E)
Bonjour

Dans le 1) il y a deux conditions dans F1 et aussi deux coefficients pour les fonctions de G1,

donc dans le 2) il y a (n+1) conditions dans Fn donc, si l'on s'inspire du 1), on prend (n+1) coefficients dans Gn, c'est dire des fonctions polynômes de degré n...




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