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Message de hicham15 posté le 09-04-2018 à 14:36:29 (S | E | F)
Bonjour;
merci de m'aider à résoudre cet exercice
Soit n un entier non nul. On considère les entiers a=3n^2 et b=n(2n+1).
Déterminer, suivant les valeurs de n, le P.G.C.D. d de a et b.
voici ce que je propose pour commencer
n|a et n|b alors n|d
( je ne sais pas si cela est utile aussi : d|a et d|b alors d|3b-2a alors d|3n )
ici, je me bloque vraiment
( donner moi juste une indication s'il vous plait 
)
Bonne journée.
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Modifié par hicham15 le 09-04-2018 14:36
Message de hicham15 posté le 09-04-2018 à 14:36:29 (S | E | F)
Bonjour;
merci de m'aider à résoudre cet exercice
Soit n un entier non nul. On considère les entiers a=3n^2 et b=n(2n+1).
Déterminer, suivant les valeurs de n, le P.G.C.D. d de a et b.
voici ce que je propose pour commencer
n|a et n|b alors n|d
( je ne sais pas si cela est utile aussi : d|a et d|b alors d|3b-2a alors d|3n )
ici, je me bloque vraiment
( donner moi juste une indication s'il vous plait 
)Bonne journée.
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Modifié par hicham15 le 09-04-2018 14:36
Réponse : Pgcd de wab51, postée le 10-04-2018 à 11:02:02 (S | E)
Bonjour
On voit déjà bien que vous maîtrisiez bien votre cours.Vous connaissez les propriétés mais par manque de développement ,certains détails importants vous ont pu malheureusement échapper . En effet :
1)n|a et n|b alors n|d , résultat correct mais incomplet parce que vous avez manqué de remplacer a et b par leurs valeurs respectives en fonction de n pour continuer et écrire: d=PGCD(a;b)=PGCD(3n²;n(n+1)=n*PGCD(3n;2n+1) pour faire comprendre que d dépend de n et du nouveau PGCD(3n;2n+1)= λ dont il faut chercher à calculer ?
2-)" je ne sais pas si cela est utile aussi : d|a et d|b alors d|3b-2a alors d|3n " ,correct manque détail et déduction ,sinon que représente 3 dans 3n? Vous avez eu bien l'idée de calculer 3b-2a=3n ,c'est incompatible .Appliquez le même raisonnement mais pour calculer la différence de 3(2n+1)-2*3n=3 d'où on déduit PGCD(3n;2n+1)= λ =3 et par conséquent les valeurs possibles de λ sont soit λ=1 ou soit λ=3 .
Voilà ,j' ai donc fait la correction tout en tant vous aidant en répondant sur la partie qui vous génait ou qui vous bloquer . Maintenant ,il vous est demandé de continuer ,en suivant ses conseils à travers ce support d'orientations :
a)Démontrer que 3n et 2n+1 sont multiples de 3 si et seulement si (n-1) est aussi multiple de 3?
b)De cette condition nécessaire et suffisante de la Question précédente Q-a),et suivant
b-1) que si (n-1) est multiple de 3 alors à quoi est égal λ? Puis déduire à quoi est égal d en fonction de n ?
b-2) que si (n-1) n'est pas multiple de 3 alors à quoi est égal λ? Puis déduire à quoi est égal d en fonction de n ? Bon courage
Réponse : Pgcd de hicham15, postée le 10-04-2018 à 13:04:23 (S | E)
Bonjour.
Merci pour votre réponse.
je n'ai pas l'idée d'écrire d=PGCD(a;b)=PGCD(3n²;n(n+1)=n*PGCD(3n;2n+1) 
posons PGCD(3n;2n+1)= λ
λ|3n et λ|2n+1 alors λ| 3(2n+1)-2*3n
donc λ|3. on en déduit que λ = 1 ou λ = 3.
a)3n≡0[3] et 2n+1≡0[3]⟺ 3n-(2n+1)≡0[3]
⟺n-1≡0[3]
si n-1 est multiple de 3 alors 3 divise 2n+1 et 3n, par conséquent 3 divise λ. on en déduit que λ = 3. d = 3n.
si n-1 n'est pas multiple de 3 alors 3 ne divise pas 2n+1 (car 3 divise toujours 3n) , alors 3 ne divise pas λ. on en déduit que λ = 1. d = n.
je l'ai aimé 
