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Message de missmoi posté le 24-10-2017 à 16:22:54 (S | E | F)
Bonjour,
J'ai un devoir maison à réaliser pour le 6 novembre. Voici le sujet:
Soit ABC un triangle, K et L les milieux respectifs des segments [AB] et [AC].
Soit M un point tel que vecteur CM= 2/3 vecteur CK.
1. a. Justifier que (vecteurCK; vecteurCA) est une base du plan.
b. En utilisant la base (vecteurCK; vecteurCA) montrer que M,B et L sont alignés.
c. Que représente le point M pour le triangle ABC. Justifier.
2. a. Démontrer que vecteur MA+ vecteur MB+ vecteur MC= vecteur nul.
b. Existe-t-il un autre point H du plan tel que vecteur HA + vecteur HB+ vecteur HC = vecteur nul ? ( En supposant qu'un point H du plan vérifie cette égalité, on montrera que vecteur HM = vecteur nul puis...)
Voila ce que j'ai fait:
1. a. (vecteur CK; vecteur CA) est une base car vecteur CK et vecteur CA ne sont pas colinéaires et les points C, K et A ne sont pas alignés car ABC est un triangle avec [CA] un côté de ce triangle et K milieu de [AB], un autre côté du triangle.
b. Je cherche donc à exprimer MB en fonction de CI et CA et ML en fonction de CK et CA.
Je sais que AL = 1/2 AC car L est le milieu de [AC].
ML= MC+ CA+ AL
ML= -2/3CK+ CA+ 1/2AC
ML= -2/3CK+ 1/2 CA
MB= MC + CA + AB
MB= -2/3 CK + CA + AB
Ici je suis bloquée je n'arrive pas à exprimer MB en fonction de CK et CA car il me reste toujours AB.
c. Le centre de gravité se trouve toujours au 2/3 de chaque médiane du triangle. Ici, je sais que K est le milieu de [AB] et on nous dis que CM= 2/3 CK. Donc, grace à cette relation je sais que M est le centre de gravité du triangle puisqu'il se trouve au 2/3 de la médiane (CK). Est-ce correcte comme justification?
2.a. D'après l'explication ci-dessus, M est le centre de gravité du triangle ABC. Il y a une propriété qui dis que si M est le centre de gravité du triangle ABC, MA+MB+MC = vecteur nul. Cependant, cela ne me permet pas de la démontrer mais je ne sais pas comment faire.
b. Je ne sais pas, je n'y arrive pas.
Merci par avance pour votre aide,
Cordialement,
Margot.
Message de missmoi posté le 24-10-2017 à 16:22:54 (S | E | F)
Bonjour,
J'ai un devoir maison à réaliser pour le 6 novembre. Voici le sujet:
Soit ABC un triangle, K et L les milieux respectifs des segments [AB] et [AC].
Soit M un point tel que vecteur CM= 2/3 vecteur CK.
1. a. Justifier que (vecteurCK; vecteurCA) est une base du plan.
b. En utilisant la base (vecteurCK; vecteurCA) montrer que M,B et L sont alignés.
c. Que représente le point M pour le triangle ABC. Justifier.
2. a. Démontrer que vecteur MA+ vecteur MB+ vecteur MC= vecteur nul.
b. Existe-t-il un autre point H du plan tel que vecteur HA + vecteur HB+ vecteur HC = vecteur nul ? ( En supposant qu'un point H du plan vérifie cette égalité, on montrera que vecteur HM = vecteur nul puis...)
Voila ce que j'ai fait:
1. a. (vecteur CK; vecteur CA) est une base car vecteur CK et vecteur CA ne sont pas colinéaires et les points C, K et A ne sont pas alignés car ABC est un triangle avec [CA] un côté de ce triangle et K milieu de [AB], un autre côté du triangle.
b. Je cherche donc à exprimer MB en fonction de CI et CA et ML en fonction de CK et CA.
Je sais que AL = 1/2 AC car L est le milieu de [AC].
ML= MC+ CA+ AL
ML= -2/3CK+ CA+ 1/2AC
ML= -2/3CK+ 1/2 CA
MB= MC + CA + AB
MB= -2/3 CK + CA + AB
Ici je suis bloquée je n'arrive pas à exprimer MB en fonction de CK et CA car il me reste toujours AB.
c. Le centre de gravité se trouve toujours au 2/3 de chaque médiane du triangle. Ici, je sais que K est le milieu de [AB] et on nous dis que CM= 2/3 CK. Donc, grace à cette relation je sais que M est le centre de gravité du triangle puisqu'il se trouve au 2/3 de la médiane (CK). Est-ce correcte comme justification?
2.a. D'après l'explication ci-dessus, M est le centre de gravité du triangle ABC. Il y a une propriété qui dis que si M est le centre de gravité du triangle ABC, MA+MB+MC = vecteur nul. Cependant, cela ne me permet pas de la démontrer mais je ne sais pas comment faire.
b. Je ne sais pas, je n'y arrive pas.
Merci par avance pour votre aide,
Cordialement,
Margot.
Réponse : Vecteurs de toufa57, postée le 24-10-2017 à 19:41:46 (S | E)
Bonjour,
1- juste.
a) juste
b) MA et MB doivent être exprimés en fonction de CK et CA. Pour MB , passe par le point K au lieu du point A.
c) Tu dois justifier que M est centre de gravité. Calcule MA.
Une fois ceci correctement fait, je t'aiderai à démontrer la 2-a).
Bon travail !
Réponse : Vecteurs de wab51, postée le 24-10-2017 à 20:20:00 (S | E)
Bonsoir missmoi (bonsoir notre chère toufa .)
1-a) (vec.CK,vec.CA) une base du plan?
Votre réponse est juste.On peut aussi simplement dire,étant donné que les deux droites (CK) et (CA) représentent des directions respectives différentes des deux vecteurs CK et CA,autrement dit les deux vecteurs ne sont pas colinéaires et par conséquent (vec.CK,vec.CA) est une base du plan
1-b) M,B,L alignés?
*La méthode est exacte .Sauf
Je sais que AL = 1/2 AC car L est le milieu de [AC].
ML= MC+ CA+ AL
ML= -2/3CK+ CA+ 1/2AC
ML= -2/3CK+
1/2 CA (Attention erreur de signe ,à corriger)MB= MC + CA + AB
MB= -2/3 CK + CA + AB (continue en exprimant AB en fonction de AK (sachant que K milieu de [AB]) puis en utilisant la relation de Chasles ,exprimer AK en fonction de AC et de CK .Enfin ,il suffit de remplacer dans MB .Ainsi MB exprimer en fonction de CK et AC .
De là ,connaissant les coordonnées de chacun des vecteurs ML et MB ,démontrer qu'il existe un réel p tel que ML=p.MB puis conclure ?
-------------------
Modifié par wab51 le 24-10-2017 20:20
Réponse : Vecteurs de toufa57, postée le 24-10-2017 à 21:34:44 (S | E)
Bonsoir wab,
Je reprends ce qu'a écrit missmoi:
Je sais que AL = 1/2 AC car L est le milieu de [AC].
ML= MC+ CA+ AL ou
(ML = MC + CL(plus simple) = -2/3CK - 1/2 CA)
ML= -2/3CK+ CA+ 1/2AC
ML= -2/3CK+ CA - 1/2CA: L'erreur est là.
ML= -2/3CK+ 1/2 CA :ici c'est correct.
Réponse : Vecteurs de wab51, postée le 24-10-2017 à 22:49:08 (S | E)
Bonsoir toufa
Parfaitement d'accord .(je me suis trompé de ligne .Au lieu de marquer l'erreur de signe sur l'avant dernière ligne ,par inattention ,elle s'est glissée vers la dernière ligne ) .Mais c'est toujours une faute .
*En lisant ton message (avec le sourire qui me prend sur les lèvres),il me semble bien que tu t'es tombée dans la même erreur mais ne t'en fait pas c'est par contamination .
Je sais que AL = 1/2 AC car L est le milieu de [AC].
ML= MC+ CA+ AL ou
(ML = MC + CL(plus simple) = -2/3CK -
1/2 CA) c'est -2/3.CK+1/2.CA 
.Merci Réponse : Vecteurs de toufa57, postée le 25-10-2017 à 00:11:12 (S | E)
Eh oui ! Décidément !!!
Erreur de frappe...puisque j'approuve que le résultat final est correct.
wab Réponse : Vecteurs de missmoi, postée le 25-10-2017 à 10:40:47 (S | E)
Bonjour,
Merci pour vos réponses. J'ai donc repris mon exercice en fonction de ce que vous m'aviez dit.
Pour la b, j'ai trouvé ça:
MB= -2/3 CK +CB et CB = 2CK-CA car on peut considérer que AK'BC est un parallélogramme, donc AK'=CB et 2CK= CA+ AK' soit 2CK= CA + CB d'où CB=2CK-CA
MB = -2/3CK+ 2CK -CA
MB= 4/3 CK-CA
ou j'ai trouvé une autre méthode qui me semble peut-être être meilleure et plus simple et qui je pense correspond à ce que vous attendiez que je trouve:
AK=KB car K est le milieu de [AB]
MB= MC+CA+AB
MB= -2/3 CK + CA + AB
MB= -2/3 CK + CA + AK +KB
MB= -2/3 CK+ CA +AK +AK
MB = -2/3 CK+ CA + 2AK
MB= -2/3 CK +CA +2AC +2CK
MB= -2/3 CK+ 2CK +CA -2CA
MB= 4/3 CK -CA
ML= MC+ CA+ AL
ML= -2/3CK+ CA+ 1/2AC
ML= -2/3CK+ CA - 1/2CA
ML= -2/3CK+ 1/2 CA
Base (CK;CA)
Les coordonnées du vecteur MB sont (4/3;-1)
Les coordonnées du vecteur ML sont (-2/3; 1/2)
xy'-x'y= 4/3*1/2 - (-1)*(-2/3)= 0
Donc MB et ML sont colinéaires donc les points M, B et L sont alignés.
c. Comment je calcul MA ? Nous savons déjà que CM = 2/3 CK, il faut prouver que M est le centre de gravité en calculant en plus MA ? (et MB ?)
Pour la 2.a. j'ai finalement réussi à trouver quelque chose:
MB= 4/3 CK - CA
MA= MC+ CA
MA= -2/3CK + CA
MC= -2/3 CK
MA+MB+MC = -2/3CK + CA + 4/3 CK - CA -2/3 CK = 0
2.b. Si j'ai bien compris, il faut que je démontre que HM = vecteur nul. Or si HM = vecteur nul alors les points H et M sont confondus et donc il n'existe pas d'autre point H tel que HA+HB+HC = vecteur nul. L'égalité MA+MB+MC = vecteur nul n'est donc valable que pour un seul point : le centre de gravité du triangle qui ici est M.
J'ai essayé de prouvé que HM = vecteur nul mais je ne suis pas du tout sûre que ce que j'ai fait soit bon, mon développement me paraît un peu bizarre.
HM= HM+MA+AB+BM+MH+HM+MC+CM
HM= HM+MA+AB+BM
HM=HM+ MA+AM
HM=HM
HM+HM= vecteur nul
2HM= vecteur nul
HM = vecteur nul
Merci par avance pour vos réponses,
Margot
Réponse : Vecteurs de toufa57, postée le 25-10-2017 à 14:09:54 (S | E)
Bonjour Margot,
b): MB et ML sont justes.
Moi j'ai fait:
MB = MK + KB = MK + AK = MK + AC + CK = 1/3CK + CK -CA = 4/3CK - CA.
ML = MC + CL = -2/3 CK + 1/2 CA
L'important est que tu aies trouvé les bons résultats.
Pour réflexion,Je t'ouvre les yeux pour B,M et L alignés?
Tu remarqueras que si on écritMB = BM = -4/3 CK + CA, on peut aussi écrire:
BM = 2(-2/3 CK + 1/2 CA) = 2 ML
La règle veut que 2 vecteurs u et v sont colinéaires si et seulement si vect.u = k vect.v
Ici, BM = 2 ML avec k = 2. D'où B,M et l sont alignés..
Il reste que la méthode avec les coordonnées est à choisir étant donné qu'on travaille sur une base.
c) Pour raisonnement,le point M étant le point de concours des médianes BM et CK, M est donc par conséquent le centre de gravité du triangle ABC. Cela nous permet d'écrire:
MA + MB + MC = 0 (1)
En supposant le point I milieu de BC, il y a un théorème qui te permet d'écrire:
MB + MC = 2 MI. Donc:
MA + MB + MC = o peut s'écrire aussi:
MA + 2 MI = 0
MA + 2(MA + AI) = 0
3MA + 2AI = 0
MA = -2/3 AI
AM = 2/3 AI. D'où M se trouvant aux 2/3 de la médiane AI, il est donc centre de gravité.
ou bien: (1) s'écrit aussi:
MA + (MA+AB) + (MA+AC) = 0
3MA + AB +AC = 0
AM = 1/3(AB +AC). Or (AB + AC) = 2AI
AM = 1/3(2AI) = 2/3 AI
2-a)Démontrer la relation: MA + MB + MC = 0.
-En traçant le symétrique de M par rapport à A = point N. Tu considèreras les triangles ABN et ACN pour démontrer que MBDC est un parallèlogramme où la règle (1) est applicable.
-On peut aussi le démontrer avec les coordonnées des vecteurs.
2-b) As-tu vu l'isobarycentre?
Réponse : Vecteurs de missmoi, postée le 25-10-2017 à 14:41:41 (S | E)
Merci de m'avoir répondu,
J'ai compris pour la question 1.c. On considère un parallélogramme ABA'C où AB+ AC = AA'. Si on nomme I le centre de BC (qui est alors une des diagonale du parallélogrammes ABA'C) alors AA'= 2AI d'où AB+ AC= 2AI. Je peux écrire cela pour expliquer comment je trouve que AB+ AC = 2AI ?
On a donc ensuite :
MA + (MA+AB) + (MA+AC) = 0
3MA + AB +AC = 0
AM = 1/3(AB +AC)
AM = 1/3(2AI) = 2/3 AI
Cela confirme que M est le centre de gravité du triangle ABC car AM = 2/3 AI tout comme CM= 2/3 CK.
Pour la 2.a. le calcul que j'ai fait en décomposant les vecteurs MA, MB, et MC et en montrant que la somme de ces vecteurs était égale à vecteur nulle ne suffit pas à démontrer que MA+MB+MC = vecteur nul ?
Pour la 2.b. non je n'ai pas vu l'isobarycentre.
Cependant, j'ai repris mon calcul et j'ai trouvé autre chose:
HA + HB + HC = vecteur nul
HM +MA +HM + MB + HM + MC = vecteur nul
3HM + MA +MB +MC = vecteur nul
On sait que MA + MB + MC = vecteur nul puisqu'on l'a démontré à la question 2.a. donc,
3HM = vecteur nul
HM= vecteur nul
Ainsi, comme HM = vecteur nul, les points H et M sont confondus. Il n'existe donc pas d'autre point H tel que HA+HB+HC = vecteur nul, cette égalité n'est donc valable que pour un seul point : le centre de gravité du triangle qui ici est M.
Est-ce plus correcte maintenant ?
Merci par avance,
Margot
Réponse : Vecteurs de missmoi, postée le 26-10-2017 à 15:19:06 (S | E)
Bonjour,
Quelqu'un peut-il m'aider à répondre aux questions que j'ai posé dans le message précédent.
Merci par avance,
Margot
Réponse : Vecteurs de wab51, postée le 26-10-2017 à 16:47:08 (S | E)
Bonjour
1-a)juste
1-b)juste -(votre méthode est parfaitement juste en utilisant la forme analytique )
1-c)Oui,d'après votre raisonnement ,cela se voit que vous aviez compris .Vous etes arrivée au résultat AM=2/3.AI .Compléter en disant qu'avec le même raisonnement on aboutit à BM=2/3.BL et de plus par hypothèse MC=2/3.KC .(avec ses trois conditions remplies ),le point M ,point de concours des médianes ,représente donc le centre de gravité du triangle ABC .
2-a)juste .(votre méthode par décomposition de vecteurs est parfaitement juste et complète)
2-b)juste et rien à dire si ce n'est vous féliciter pour avoir bien fait attention en appliquant "le raisonnement guide indiqué dans la question elle-meme .
Voilà ,félicitations encore une fois .
Si,vous aviez des questions ,n'hésitez donc pas et nous vous y répondrons .(Le latex ne fonctionne pas bien pour avoir une bonne écriture mathématique en vecteurs,ou autres...) .Merci
-------------------
Modifié par wab51 le 26-10-2017 17:07
Réponse : Vecteurs de wab51, postée le 26-10-2017 à 17:02:34 (S | E)
Juste encore une petite remarque dans votre réponse Q-2a):"concernant le développement des calculs",meme que cela peut paraitre évident ,il faut etre plus explicite dans le calcul ,de peur d'avoir des points en moins ...C'est pourquoi je vois (en bleu)
MA+MB+MC = -2/3CK + CA + 4/3 CK - CA -2/3 CK =(-2/3 +4/3 -2/3).CK +(1-1).CA = vect.0 + vect.O = 0 .
.Merci Réponse : Vecteurs de missmoi, postée le 26-10-2017 à 17:14:18 (S | E)
Bonjour,
Merci de m'avoir répondu, pour l'instant il ne me semble pas avoir d'autres questions à vous poser sur cet exercice. Je vais appliquer vos conseil en ce qui concerne d'écrire (-2/3 +4/3 -2/3).CK +(1-1).CA = vect.0 + vect.O = 0, cela me paraît en effet plus correcte ainsi.
Encore merci,
Margot
Réponse : Vecteurs de toufa57, postée le 27-10-2017 à 21:28:03 (S | E)
Bonjour,
Désolée, j'arrive trop tard....
Pour le 2-a), je trouve que remplacer par les valeurs trouvées est trop simpliste. Pour moi, ce n'est pas une démonstration. C'est pourquoi j'ai proposé de tracer le parallélogramme et là, on peut le démontrer aisément. Bref,..
Merci wab d'avoir pris la relève. Bon courage Margot pour la suite...
Réponse : Vecteurs de wab51, postée le 28-10-2017 à 14:48:37 (S | E)
Bonjour toufa
Eh,bien !non et pas du tout d'accord.C'est totalement dérisoire et choquant .Vous faites faute grave de dénoncer gratuitement et sans fondement une véritable démonstration cohérente et juste et non "simpliste".Auriez-vous songé à voir que la méthode de raisonnement auquel le membre concerné fut librement attaché à choisir,est celle:
-a)d'en considérer un 1er support de donnée déjà démontré et approuvé MB=4/3.CK - CK ,à partir de la précédente question Q.1b) ?
-b)d'en tenir compte d'un 2ème support de donnée MC=-2/3.CK qui n'est autre qu'une donnée du problème ?
-c)d'en appliquer "la relation de Chasles"pour exprimer MA=MC+CA puis par simple remplacement de l'hypothèse donnée MA=-2/3.CK+CA ?
**Quand à votre méthode suggérée et conseillée? (votre message du 25/10/2017 à 14h09'54")
En traçant le symétrique de M par rapport à A = point N. Tu considèreras les triangles ABN et ACN pour démontrer que MBDC est un parallèlogramme où la règle (1) est applicable.(énoncé faux ???
-On peut aussi le démontrer avec les coordonnées des vecteurs.(Ne trouviez vous pas que vous vous contrariez vous-même ?N'auriez vous pas vu pour dire que dans ses conditions que la base de référence est bien (CK,CA) ,que les coordonnées des vecteurs dont vous parliez sont bien MA,MB et MC et doivent etre exprimés en fonction des vecteurs de base CK et CA?
2-b) As-tu vu l'isobarycentre? (inutile)
***A savoir ,plusieurs autres méthodes existent .J'en ferai à titre indicatif un exemple de méthode par choix personnel plus tard.
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Modifié par wab51 le 28-10-2017 14:50
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Modifié par wab51 le 28-10-2017 14:52
Réponse : Vecteurs de toufa57, postée le 30-10-2017 à 01:28:16 (S | E)
Bonjour wab,
J'ai donné mon avis disant que la démonstration - pour moi - était simpliste, en ce sens trop simple. Cependant, je maintiens mon idée et ce que j'ai énoncé n'est pas erroné comme vous le dites.. Je suis formelle là-dessus!.
En outre, j'ai simplement suggéré une méthode. je ne l'ai pas conseillée.Encore là, tout simplement parce que je pensais que remplacer les vecteurs par leur valeur trouvée était simple à faire. Pour moi, c'est une déduction et non une démonstration. Il est bien demandé: Démontrer et non en déduire...
Autre chose, non, je ne me contredis pas en parlant de coordonnées des vecteurs. Je l'ai approuvé!. Ai-je écrit quelque part que c'était faux ? Voyez-vous que vos pensées vous trompent?
Pour ce qui est de l'isobarycentre, j'ai mon idée. C'est un +. Et... utile ou pas, je n'ai pas demandé votre avis...pourtant vous portez un jugement au lieu d'essayer de voir où je voulais en venir.
En tout cas, en vous lisant, je détecte une colère en vous. Et même un ton haut. Mais, vous êtes qui pour moi pour vous permettre de lever le ton ? Je ne vous le permets pas! Sachez que je ne suis pas responsable de vos émotions. Vous seul, en êtes responsable puisqu'elles ont été générées par vos pensées. La preuve, vous parlez de dénoncer une démonstration
Je ne comprends pas bien le sens de ce verbe dans votre phrase mais, ce que j'en tire c'est que vous vous êtes senti offensé et en plus vous le prenez pour personnel. Désolée, loin de là, le forum est pour tout le monde....mais, c'est votre problème, pas le mien.Malheureusement pour vous, je ne suis pas douée pour les disputes.... j'ai trop de respect pour ma personne, et pour celle des autres d'ailleurs. Alors, soignez vos impulsions avec moi.
Je suis là pour apporter ma modeste contribution quand je le peux, je ne détiens pas le savoir....J'apprends toujours et encore des autres. Je suis donc ouverte au dialogue, au débat,sans colère, sans impulsivité et sans agressivité. Et...ne pas être du même avis me parait plutôt enrichissant. Réfléchissez avant d'agir d'autant plus que ce n'est pas la 1ère fois que vous avez une réaction démesurée avec les membres. C'est bien dommage et regrettable!
Sur ce, je vous souhaite une bonne continuation notamment dans ce savoir que vous détenez.
Toufa57
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